一、傅里叶级数
核心思想：周期函数\(f(t)\)可以看成是一系列频率(周期)不同的周期函数\({f_k}(t)\)的叠加，即：
\[\begin{array}{c}
f(t) = {c_1}{f_1}(t) + {c_2}{f_2}(t) + \cdots + {c_n}{f_n}(t)\\
= \sum\nolimits_{k = 1}^n {{c_k}} {f_k}(t)
\end{array}\]
傅里叶级数假设：周期函数${f_k}(t)$的形式为${e^{ik{w_0}t}}$，其中${w_0}$称为基频，${f_k}(t)$的频率为基频${w_0}$的整数倍，则有：
\[\begin{array}{c}
f(t) = \sum\nolimits_{k = - \infty }^{ + \infty } {{c_k}{e^{ik{w_0}{\rm{t}}}}} \\
= \cdots + {c_{ - 2}}{e^{ - 2i{w_0}t}} + {c_{ - 1}}{e^{ - 1i{w_0}t}} + {c_0}{e^{0i{w_0}t}} + {c_1}{e^{1i{w_0}t}} + {c_2}{e^{2i{w_0}t}} + \cdots
\end{array}\]
根据基频${w_0}$，理论上我们可以拟合任意周期函数$f(t)$。可是目前${c_k}$对我们而言仍然是不可知的。于是接下来给出求${c_k}$的方法。
在上式两边同时乘以${e^{in{w_0}t}}$，则有：
\[\begin{array}{c}
f(t){e^{ - in{w_0}{\rm{t}}}} = \sum\nolimits_{k = - \infty }^{ + \infty } {{c_k}{e^{i\left( {k - n} \right){w_0}{\rm{t}}}}} \\
= \cdots + {c_{n - 2}}{e^{ - 2i{w_0}t}} + {c_{n - 1}}{e^{ - 1i{w_0}t}} + {c_n}{e^{0i{w_0}t}} + {c_{n + 1}}{e^{1i{w_0}t}} + {c_{n + 2}}{e^{2i{w_0}t}} + \cdots
\end{array}\]
接下来对上式两边进行积分，根据三角函数性质：
\[\int_0^T {{e^{ - ik{w_0}{\rm{t}}}}} dt = 0\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{\left( {k \ne 0,T = \frac{{2\pi }}{{{w_0}}}} \right)}
\end{array}\]
于是积分结果为：
\[\int_0^T {f(t){e^{ - in{w_0}{\rm{t}}}}} dt = \cdots + 0 + 0 + T{c_n} + 0 + 0 + \cdots \]
故：
\[{c_n} = \frac{1}{T}\int_0^T {f(t){e^{ - in{w_0}{\rm{t}}}}} dt\]
称数列${c_k}$为$f(t)$的离散频谱，$\left| {{c_k}} \right|$为$f(t)$的离散振幅谱，$\arg \left( {{c_k}} \right)$为$f(t)$的离散相位谱。
至此，对于任意周期为T，频率为${w_0}$的函数$f(t)$，可以分解为一系列周期函数${e^{ik{w_0}t}}$的线性叠加，即：
\[f(t) = \sum\nolimits_{k = - \infty }^{ + \infty } {{c_k}{e^{ik{w_0}{\rm{t}}}}} \]
\[{c_k} = \frac{1}{T}\int_0^T {f(t){e^{ - ik{w_0}{\rm{t}}}}} dt\]
其中，${w_0}$为基频，${c_k}$的求取方法上文已经给出。
二、傅里叶变换
傅里叶级数有其局限性，即要求$f(t)$为周期函数，而对于非周期函数只能进行有限区间上的拟合。
例如，当$f(t)$为非周期函数，对其在$\left[ {0,T} \right]$上进行拟合，如下图：
于是，人们开始想，能不能对非周期函数$f(t)$进行全局上的拟合呢？
于是，将非周期函数$f(t)$看成一个周期无穷大的周期函数，便得到傅里叶级数的推广——傅里叶积分定理。下面具体介绍推广过程：
对非周期函数$f(t)$在区间$\left[ { - \frac{T}{2},\frac{T}{2}} \right]$上展开为傅里叶级数得：
\[f(t) = \sum\nolimits_{k = - \infty }^{ + \infty } {{c_k}{e^{ik{w_0}{\rm{t}}}}} \]
\[{c_k} = \frac{1}{T}\int_{ - T/2}^{T/2} {f(t){e^{ - ik{w_0}{\rm{t}}}}} dt\]
相邻频率的周期函数得频率间隔为：
\[\Delta w = \left( {k + 1} \right){w_0} + k{w_0} = {w_0}\]
代入上式有：
\[{c_k} = \frac{{\Delta w}}{{2\pi }}\int_{ - T/2}^{T/2} {f(t){e^{ - ik{w_0}{\rm{t}}}}} dt\]
\[\begin{array}{c}
f(t) = \sum\nolimits_{k = - \infty }^{ + \infty } {\left( {\frac{{\Delta w}}{{2\pi }}\int_{ - T/2}^{T/2} {f(t){e^{ - ik{w_0}{\rm{t}}}}} dt} \right){e^{ik{w_0}{\rm{t}}}}} \\
= \frac{1}{{2\pi }}\sum\nolimits_{k = - \infty }^{ + \infty } {\left( {\int_{ - T/2}^{T/2} {f(t){e^{ - ik{w_0}{\rm{t}}}}} dt} \right){e^{ik{w_0}{\rm{t}}}}} \cdot \Delta w
\end{array}\]
将非周期函数$f(t)$看成周期无穷大的周期函数，等价于$\left( {T \to + \infty } \right)$，于是$\Delta w = {w_0} = \frac{{2\pi }}{T} \to 0$，${\rm{k}}{{\rm{w}}_0}$可以视为连续变量。因此接下来如下记作：
\[\mathop {\lim }\limits_{T \to + \infty } \Delta w \Rightarrow dw\]
\[\mathop {\lim }\limits_{T \to + \infty } k{w_0} \Rightarrow w\]
接下来，就有：
\[\begin{array}{c}
f(t) = \mathop {\lim }\limits_{T \to + \infty } \frac{1}{{2\pi }}\sum\nolimits_{k = - \infty }^{ + \infty } {\left( {\int_{ - T/2}^{T/2} {f(t){e^{ - ik{w_0}{\rm{t}}}}} dt} \right){e^{ik{w_0}{\rm{t}}}}} \cdot \Delta w\\
= \frac{1}{{2\pi }}\int_{ - \infty }^{ + \infty } {\left( {\int_{ - \infty }^{ + \infty } {f(t){e^{ - iw{\rm{t}}}}} dt} \right){e^{iw{\rm{t}}}}} dw
\end{array}\]
上式被称为傅里叶积分定理。
\[F(w) = \xi [f(t)] = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {f(t){e^{ - iw{\rm{t}}}}} dt\]
上式即为傅里叶变换（函数的函数）。$F(w)$描述的是$f(t)$中${e^{iwt}}$的分布密度。称$F(w)$为$f(t)$的频谱密度函数（简称为连续频谱或频谱）。$\left| {F(w)} \right|$为$f(t)$的振幅谱，$\arg \left[ {F\left( w \right)} \right]$为$f(t)$的相位谱。
得到频谱函数可以通过傅里叶逆变换变回去，即
\[f(t) = {\xi ^{ - 1}}\left[ {F\left( w \right)} \right] = \frac{1}{{2\pi }}\int_{ - \infty }^{ + \infty } {F\left( w \right){e^{iw{\rm{t}}}}} dw\]
三、离散傅里叶变换（DFT）
傅里叶变换的目的就是得到信号的频谱密度函数$F(w)$，即：
\[F(w) = \xi [f(t)] = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {f(t){e^{ - iw{\rm{t}}}}} dt\]
这里t和w均为连续变量，但是计算机采集的信号在时域上是离散的，即t是离散的，故计算机中储存的是经过采样处理后的${f_s}(t)$。
同时，计算机只能计算出有限个频率对应的幅值密度，即w也是离散的。
因此，DFT是t和w都为离散版的傅里叶变换。
在具体推导DFT之前，先了解冲激函数$\delta (t)$，具有以下性质。
\[\delta (t) = 0\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{when t \ne 0}
\end{array}\]
\[\int_{ - \infty }^{ + \infty } {\delta (t)} dt = 1\]
根据定义，有：
\[\int_{ - \infty }^{ + \infty } {\delta (t - {t_0})} f\left( t \right)dt = f\left( {{t_0}} \right)\]
定义梳状函数（用于采样，${T_s}$为采样周期）：
\[{\delta _s}(t) = \sum\nolimits_{n = - \infty }^{ + \infty } {\delta (t - n{T_s})} \]
将$f(t)$与它相乘，便得到采样处理后的离散函数：
\[{f_s}(t) = \sum\nolimits_{n = - \infty }^{ + \infty } {f(t)\delta (t - n{T_s})} \]
根据习惯，我们将${f_s}(t)$重新记为${x_s}(t)$，即：
\[{x_s}(t) = \sum\nolimits_{n = - \infty }^{ + \infty } {x(t)\delta (t - n{T_s})} \]
对${x_s}(t)$进行傅里叶变换，有：
\[\begin{array}{c}
{X_s}\left( w \right) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {{x_s}\left( t \right){e^{ - iwt}}dt} \\
= \int_{ - \infty }^{ + \infty } {\left( {\sum\nolimits_{n = - \infty }^{ + \infty } {x(t)\delta (t - n{T_s})} } \right){e^{ - iwt}}dt} \\
= \sum\nolimits_{n = - \infty }^{ + \infty } {\int_{ - \infty }^{ + \infty } {x(t)\delta (t - n{T_s}){e^{ - iwt}}dt} } \\
= \sum\nolimits_{n = - \infty }^{ + \infty } {x(n{T_s}){e^{ - iwn{T_s}}}}
\end{array}\]
我们此时只是对时域进行了离散化，但是${X_s}(w)$在频域上依然是连续的，而计算机只能求取有限个w对应的频谱密度。此外，${X_s}(w)$中的时域采样次数N为无穷大，实际应用中显然不会进行无穷多次时域采样。
我们首先解决N为无穷大的问题。对于连续信号$x(t)$进行N次（N为有限值）采样，采样周期为${T_s}$。然后对采样得到的信号进行时域上的周期延拓（延拓至正负无穷），这样我们就得到了一个周期为${T_0} = N{T_s}$的函数。对于周期函数而言，它的频谱函数是离散化的，这样我们就成功把频域也进行了离散化。具体计算方法如下：
在一个周期内，N次采样离散信号的表达式为：
\[{x_s}(t) = \sum\nolimits_{n = 0}^{N - 1} {x(t)\delta (t - n{T_s})} \]
${x_s}(t)$为离散周期函数，周期${T_0} = N{T_s} = 2\pi /{w_0}$，由傅里叶级数一节，可知：
为更加简明，记$X\left[ k \right] = X\left( {k{w_0}} \right)N{T_s}$，$x\left[ n \right] = x\left( {n{T_s}} \right)$，则有：
\[X\left[ k \right] = \sum\nolimits_{n = 0}^{N - 1} {x\left[ n \right]} {e^{ - i\frac{{2\pi }}{N}kn}}\]
对于一个特定k值，求$X\left[ k \right]$，需要N次乘法，（N-1）次加法运算。
而需要这样运算的k值总共有多少个？一般来说，由于${e^{ - i2\pi n\frac{k}{N}}}$的周期性，我们只取0<k<N-1进行运算。可得复杂度为$O\left( {{N^2}} \right)$。我们总算把运算次数变成了有限次。
四、快速傅里叶变换（FFT）
令：
\[W\left[ {n,k} \right] = {e^{ - i\frac{{2\pi }}{N}nk}}\]
因为当n为偶数时（用2n表示），可证明：
即，当n为偶数时有：
\[W\left[ {n,k} \right] = W\left[ {n,k + N/2} \right]\]
将$X\left[ k \right]$分为n为偶数以及n为奇数两个部分。
对上式简化处理，将偶数部分记作$E\left[ k \right]$，奇数部分中的求和部分记作$O\left[ k \right]$，则：
\[X\left[ k \right] = E\left[ k \right] + W\left[ {1,k} \right]O\left[ k \right]\]
易证得：
此外，易证得：
\[W\left[ {1,k} \right] = - W\left[ {1,k + N/2} \right]\]
\[E\left[ k \right] = E\left[ {k, + N/2} \right]\]
\[O\left[ k \right] = O\left[ {k, + N/2} \right]\]
因此，有：
\[X\left[ {k + N/2} \right] = E\left[ k \right] - W\left[ {1,k} \right]O\left[ k \right]\]
$E\left[ k \right]$，$O\left[ k \right]$可以继续分解为奇数和偶数部分，此时$N' = N/2$，如此迭代。
示例（N=8）：
第一次分解：
$N$=8，n=(0,1,2,3,4,5,6,7)，2n=(0,2,4,6)，2n+1=(1,3,5,7)
第二次分解：（以$E\left[ k \right]$为例，$O\left[ k \right]$类似）
$N'$=4，n=(0,1,2,3)，4n=(0,4)，4n+2=(2,6)
第三次分解：（以$E'\left[ k \right]$为例，$O'\left[ k \right]$类似）
$N''$=2，n=(0,1)，8n=0，8n+4=4
有：
\[X''\left[ 0 \right] = E'\left[ 0 \right] = x\left[ 0 \right] + {\left. {W\left[ {1,0} \right]} \right|_{N'' = 2}}x\left[ 4 \right]\]
\[X''\left[ 1 \right] = E'\left[ 1 \right] = x\left[ 0 \right] - {\left. {W\left[ {1,0} \right]} \right|_{N'' = 2}}x\left[ 4 \right]\]
认识蝶形图：
(1) 级的概念
每分解一次，称为一级运算。设 FFT 运算点数为 N，共有 M 级运算，则它们满足：
\[M = {\log _2}N\]
每一级运算的标识为 m = 0, 1, 2, ..., M-1。为了便于分解计算，FFT 点数 N 的取值经常为 2 的整数次幂。
(2) 蝶形单元
FFT 计算结构由若干个蝶形运算单元组成，每个运算单元示意图如下：
\[{X_{m + 1}}(p) = {X_m}(p) + {X_m}(q)W_N^k\]
\[{X_{m + 1}}(p) = {X_m}(p) - {X_m}(q)W_N^k\]
其中，$q = p + {2^m}$，每一个蝶形单元运算时，进行了一次乘法和两次加法。每一级中，均有 N/2 个蝶形单元。故完成一次 FFT 所需要的乘法次数和加法次数分别为：
\[N/2 \cdot {\log _2}N\]
\[N \cdot {\log _2}N\]
(3) 组的概念
每一级 N/2 个蝶形单元可分为若干组，每一组有着相同的结构与$W_N^k$因子分布。
例如：m=0 时，可以分为 N/2=4 组。
m=1 时，可以分为 N/4=2 组。
m=M-1 时，此时只能分为 1 组。
(3) 因子化简
\[W_N^k = {\left. {W\left[ {1,k} \right]} \right|_N} = {e^{ - i\frac{{2\pi }}{N}k}}\]
\[W_N^k = W_{2N}^{2k}\]
例如，在 8 点 FFT 第二级运算中，即 m=1 ，蝶形运算因子可以化简为：
\[\begin{array}{*{20}{c}}
{W_4^0}&{W_4^1}
\end{array} \Rightarrow \begin{array}{*{20}{c}}
{W_8^0}&{W_8^2}
\end{array}\]
(5) 码位倒置
对于 N=8 点的 FFT 计算，x(0) ~ x(7) 位置对应的 2 进制码为：
X(000), X(001), X(010), X(011), X(100), X(101), X(110), X(111)
将其位置的 2 进制码进行翻转：
X(000), X(100), X(010), X(110), X(001), X(101), X(011), X(111)
此时位置对应的 10 进制为：
X(0), X(4), X(2), X(6), X(1), X(5), X(3), X(7)
恰好对应 FFT 第一级输入数据的顺序，该特性有利于 FFT 的编程实现。
(6) 8点FFT设计
(1) 8 点 FFT 设计，需要 3 级运算，每一级有 4 个蝶形单元，每一级的组数目分别是 4、2、1。
(2) 每一级的组内一个蝶形单元中两个输入端口的距离恒为2m（m 为级标号，对应左移运算 1<<m），组内两个蝶形单元的第一个输入端口间的距离为 1。
(3) 每一级相邻组间的第一个蝶形单元的第一个输入端口的距离为2m+1
参考资料：
1.知乎. Tetradecane. 《积分变换（1）——傅里叶级数》.https://zhuanlan.zhihu.com/p/108017728
2.知乎. Tetradecane. 《积分变换（2）——傅里叶变换》.https://zhuanlan.zhihu.com/p/108271985
3.知乎. cronus-裁.《快速理解FFT算法（完整无废话）》.https://zhuanlan.zhihu.com/p/407885496
4.菜鸟教程.《Verilog FFT 设计》.https://www.runoob.com/w3cnote/verilog-fft.html
