最优化——基本性质

标准形式

$$ \begin{aligned}
\min \quad &\bf{cx} \\
s.t. \quad &\bf{Ax}=\bf{b}\\
&x\ge0
\end{aligned}$$
其中\(A\)是\(m\times n\)矩阵，\(c\)是\(n\)维行向量， \(b\)是\(m\)维列向量。

最优极点
1. 如果线性规划存在最优解，那么最优解一定会在某个极点上达到。

最优基本可行解
假设\(A\)的秩是\(m\)，又假设\(A=[B,N]\)，其中\(B\)是\(m\)阶可逆矩阵。
为什么A的秩是\(m\)？
令$$(B,N)\begin{bmatrix} x_B \\x_N\end{bmatrix}= b$$
经过运算得到$$x=B^{-1}b-B^{-1}Nx_N$$
那么 \(x_N\)就是自由项，简单起见可以设为\(0\)向量。得到基本可行解：
$$x=\begin{bmatrix}x_B \\x_N\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}B^{-1}b \\ 0 \end{bmatrix}$$

称\(B\)为基矩阵，简称基；\(x_B\)为基变量。