子空间投影
任何一个向量 $b$, 都有
$$b = P b +(I-P)b$$
其中, $P$ 是投影向某一个空间的投影矩阵,而 $(I-P)$ 是投影向垂直于该空间的投影矩阵。
如何解一个无解的方程 $Ax=b$ 的解
基础的的解决方案是:
$A^TA \hat{x} = A^T b$
rank ($A^TA$) = rank($A$), Null($A^TA$)= Null($A$)
换句话说,如果A是列满秩的,即零空间里只有0向量,那么$A^TA$可逆的。
此时,子空间投影可以被运用求解近似解。
在一维情况下,投影变量 $p$, 投影矩阵 $P$,被投影变量 $b$, 投影方向 $a$, 那么有:
$p=Pb=\frac{aa^T}{a^Ta}b$
在多维情况下,投影变量用 $A$ 替代, 那么投影变换则为:
$p=Pb=A(A^TA)^{-1}A^Tb$
注意的是,这里中间的括号是不能拆开的,因为 $A$ 不一定是可逆方阵,如果 $A$ 为可逆方阵,那么投影矩阵为单位矩阵 $I$,即方程组本身有解,无需投影 $b$ 也在 $A$ 的列空间里。
e.a. 求经过几个点的直线拟合。根据点的个数可以列出许多的方程,但是这些点不一定在拟合的直线上,所以根据最小二乘法,通过投影矩阵可以求的最优解。