4/20 - CPS-S 模拟

与众不同。

复盘

（具体题目信息详见后文解析）

怀着复杂的心情打开了 A，为什么是数学题。

计算模拟了一下，题目可以抽象成构造一个 \(1\) 到 \(n\) 的排列，第 \(i\) 个数配上一个权值 \(\frac{1}{2^i}\)，特别的，第 \(n\) 个值为 \(\frac{1}{2^{n - 1}}\)，求最大的和。

然后这就可以贪心了，发现了直接 \(n\) 到 \(1\) 就最优秀，直接 \(\mathcal{O} (n)\)。

但是要分数取模，非常愤怒，直接跳过。

看 B，不是，什么东西？

看错题了来着。

跳过，看 C。

发现 C 可以直接 \(\mathcal O(n \log_3n)\) 预处理出所有好数，然后二分一下输出。

拿下 \(100\)。

一直认为 D 是不可做题，打了 \(30\) 暴力就返回去看 A。

仔细琢磨了一下，发现 \(10^9 + 7\) 是一个质数，而分数取模好像可以直接用逆元解。

迎刃而解了啊！

恭喜你得到了 \(70\) 分（理论上是 \(80\) 分来着）。

然而我并没有看见数据范围。

• 预估：\(80 + 100 + 100 + 30 = 310\)。
• 实际：\(70 + 100 + 100 + 30 = 300\)。

挂分了呜呜呜。

解析

A

输入 \(n\)，求一个排列，每次将前两个数的平均值替换成前两个数，求最后剩下的最大和。

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设当前排列为 \(s\)。

则答案为：

\[f(i) = \frac{s_i + f(i - 1)}{2} \]

因为每次 \(f\) 函数都要除以 \(2\)，所以 \(f\) 越小越优秀。

即直接 \(s_i = i\) 是最优秀的。

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\[f(i) = \frac{i + f(i - 1)}{2} \]

通过数学归纳法可知：

\[f(n) = \frac{(n - 1) \times 2 ^ {n - 1} + 1}{ 2^{n - 1} } \]

分数取模：

\[f(n) = \left [ (n - 1) \times 2 ^ {n - 1} + 1 \right ] \times \left ( 2^{n - 1} \right ) ^ {-1} \]

B

一棵树，以路径上边权最小值为路径代价，求第 \(k\) 大的两点间最大路径代价。

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克鲁斯卡尔建最大生成树，每次建边都统计一共有多少条路径。

因为当前出现过的所有路径都是比当前枚举到的 \(w\) 大的。

如果在加边之前没有超过 \(k\) 条，而加完之后超过了，就证明第 \(k\) 大的代价是 \(w\)。

C

所有三进制 \(1\) 与 \(2\) 个数相同的数为郝数，求 \(\ge n\) 的 \(m\) 个郝数。

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预处理 + 二分。