CDQ 分治学习笔记

引入

• 给定一个长度为 \(n\) 的序列，每一个元素都有一个键值 \(a\)，记 \(f(i)\) 为 \(a_i \le a_j\) 且 \(i \ne j\) 的 \(j\) 的个数（一位偏序）。
• 求 \(d \in \left [ 0, n \right )\)，\(f(i) = d\) 的 \(i\) 的数量。
• 这很简单，我们不做讨论。
• 那如果加一维 \(b\) 呢？（二维偏序）
• 只需要先按照 \(a\) 排序，这样就可以去掉 \(a\) 这一维的限制。
• 然后用你喜欢的方式维护逆序对即可。
• 再加一维呢？（三位偏序）
• 好像就没那么简单了……

正题

概念

cdq 分治主要用来解决二元组问题。

传入 \((l, r)\)，则所求二元组（有序） \((i, j)\) 满足 \(l \le i, j \le r\)。

取该区间中点 \(m\)

• 若 \(l \le i, j \le m\)，分治 \((l, m)\)。
• 若 \(m + 1 \le i, j \le r\)，分治 \((m + 1, r)\)。
• 解决 \(l \le i \le m \lt j \le r\) 的情况。

模板

void cdq(int l, int r) {
    int mid = (l + r) / 2;
    cdq(l, mid), cdq(mid + 1, r);
    // solve
}

例题

三维偏序

回到刚刚的问题，我们试着用 cdq 分治解决刚刚的问题。

考虑先按照 \(a\) 排序，就可以省下一维的复杂度。

此时就有 \(l \le i \le mid\)、\(mid + 1 \le j \le r\) 的情况。

先将 \(l \sim mid\) 和 \(mid + 1 \sim r\) 分别按照 \(b\) 排序。

虽然分别排序会打乱 \(a\) 的顺序，但是 \(\forall i \in \left [ l, mid \right ], j \in \left [ mid + 1, r \right ]\) 均有 \(a_i \lt a_j\)。

所以只需要分别双指针一下即可统计。

struct fenwick {
#define lowbit(x) (x & -x)
    int c[N];
    void change(int x, int v) {
        for (; x <= k; x += lowbit(x)) {
            c[x] += v;
        }
    }
    int ask(int x) {
        int ans = 0;
        for (; x >= 1; x -= lowbit(x)) {
            ans += c[x];
        }
        return ans;
    }
} bit;

void cdq(int l, int r) {
    if (l >= r)
        return;
    int mid = (l + r) / 2;
    cdq(l, mid), cdq(mid + 1, r);
    sort(a + l, a + mid + 1, [&](node x, node y) {
        return (x.b != y.b) ? (x.b < y.b) : (x.c < y.c);
    });
    sort(a + mid + 1, a + r + 1, [&](node x, node y) {
        return (x.b != y.b) ? (x.b < y.b) : (x.c < y.c);
    });
    int i = l, j = mid + 1;
    for (; j <= r; j++) {
        while (i <= mid && a[i].b <= a[j].b) {
            bit.change(a[i].c, a[i].num);
            i++;
        }
        a[j].ans += bit.ask(a[j].c);
    }
    for (int k = l; k < i; k++) {
        bit.change(a[k].c, -a[k].num);
    }
}

---

不过这也不一定只能用一个 cdq 分治，我们其实可以再在里面嵌套一个 cdq 分治，此时也可以维护三维偏序。

这种方法更加普遍，如四维偏序、五维偏序等也可以用这种方法。

代码我就不写了。