Java编程的逻辑 (4) - 整数的二进制表示与位运算

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上节我们提到正整数相乘的结果居然出现了负数,要理解这个行为,我们需要看下整数在计算机内部的二进制表示。

十进制

要理解整数的二进制,我们先来看下熟悉的十进制。十进制是如此的熟悉,我们可能已忽略了它的含义。比如123,我们不假思索就知道它的值是多少。

但其实123表示的1*(10^2) + 2*(10^1) + 3*(10^0),(10^2表示10的二次方),它表示的是各个位置数字含义之和,每个位置的数字含义与位置有关,从右向左,第一位乘以10的0次方, 即1,第二位乘以10的1次方,即10,第三位乘以10的2次方,即100,依次类推。

换句话说,每个位置都有一个位权,从右到左,第一位为1,然后依次乘以10,即第二位为10,第三位为100,依次类推。

正整数的二进制表示

正整数的二进制表示与此类似, 只是在十进制中,每个位置可以有10个数字,从0到9,但在二进制中,每个位置只能是0或1。位权的概念是类似的,从右到左,第一位为1,然后依次乘以2,即第二位为2,第三位为4,依次类推。

看一些数字的例子吧:

二进制 十进制
10 2
11 3
111 7
1010 10

负整数的二进制表示

十进制的负数表示就是在前面加一个负数符号-,例如-123。但二进制如何表示负数呢?

其实概念是类似的,二进制使用最高位表示符号位,用1表示负数,用0表示正数。

但哪个是最高位呢?整数有四种类型,byte/short/int/long,分别占1/2/4/8个字节,即分别占8/16/32/64位,每种类型的符号位都是其最左边的一位。

为方便举例,下面假定类型是byte,即从右到左的第8位表示符号位。

但负数表示不是简单的将最高位变为1,比如说:

  • byte a = -1,如果只是将最高位变为1,二进制应该是10000001,但实际上,它应该是11111111。
  • byte a=-127,如果只是将最高位变为1,二进制应该是11111111,但实际上,它却应该是10000001。 

和我们的直觉正好相反,这是什么表示法?这种表示法称为补码表示法,而符合我们直觉的表示称为原码表示法,补码表示就是在原码表示的基础上取反然后加1。取反就是将0变为1,1变为0。

负数的二进制表示就是对应的正数的补码表示,比如说:

  • -1:1的原码表示是00000001,取反是11111110,然后再加1,就是11111111。
  • -2:2的原码表示是00000010,取反是11111101,然后再加1,就是11111110。
  • -127:127的原码表示是01111111,取反是10000000,然后再加1,就是10000001。 

给定一个负数二进制表示,要想知道它的十进制值,可以采用相同的补码运算。比如:10010010,首先取反,变为01101101,然后加1,结果为01101110,它的十进制值为110,所以原值就是-110。直觉上,应该是先减1,然后再取反,但计算机只能做加法,而补码的一个良好特性就是,对负数的补码表示做补码运算就可以得到其对应整数的原码,正如十进制运算中负负得正一样。

byte类型,正数最大表示是01111111,即127,负数最小表示(绝对值最大)是10000000,即-128,表示范围就是 -128到127。其他类型的整数也类似,负数能多表示一个数。

负整数为什么采用补码呢?

负整数为什么要采用这种奇怪的表示形式呢?原因是:只有这种形式,计算机才能实现正确的加减法。

计算机其实只能做加法,1-1其实是1+(-1)。如果用原码表示,计算结果是不对的。比如说:

1  -> 00000001
-1 -> 10000001
+ ------------------
-2 -> 10000010

用符合直觉的原码表示,1-1的结果是-2。

如果是补码表示:

1  -> 00000001
-1 -> 11111111
+ ------------------
0  ->  00000000 

结果是正确的。

再比如,5-3:

5  -> 00000101
-3 -> 11111101
+ ------------------
2  ->  00000010 

结果也是正确的。

就是这样的,看上去可能比较奇怪和难以理解,但这种表示其实是非常严谨和正确的,是不是很奇妙?

理解了二进制加减法,我们就能理解为什么正数的运算结果可能出现负数了。当计算结果超出表示范围的时候,最高位往往是1,然后就会被看做负数。比如说,127+1:

127   -> 01111111
1     -> 00000001
+ ------------------
-128  -> 10000000 

计算结果超出了byte的表示范围,会被看做-128。

十六进制

二进制写起来太长,为了简化写法,可以将四个二进制位简化为一个0到15的数,10到15用字符A到F表示,这种表示方法称为16进制,如下所示:

2进制 10进制 16进制
1010 10 A
1011 11 B
1100 12 C
1101 13 D
1110 14 E
1111 15 F

可以用16进制直接写常量数字,在数字前面加0x即可。比如10进制的123,用16进制表示是0x7B,即123 = 7*16+11。给整数赋值或者进行运算的时候,都可以直接使用16进制,比如:

int a = 0x7B;

Java中不支持直接写二进制常量,比如,想写二进制形式的11001,Java中不能直接写,可以在前面补0,补足8位,为00011001,然后用16进制表示,即 0x19。

查看整数的二进制和十六进制表示

在Java中,可以方便的使用Integer和Long的方法查看整数的二进制和十六进制表示,例如:

int a = 25;
System.out.println(Integer.toBinaryString(a)); //二进制
System.out.println(Integer.toHexString(a));  //十六进制
System.out.println(Long.toBinaryString(a)); //二进制
System.out.println(Long.toHexString(a));  //十六进制

位运算

位运算是将数据看做二进制,进行位级别的操作,Java不能单独表示一个位,但是可以用byte表示8位,可以用16进制写二进制常量。比如: 0010表示成16进制是 0x2, 110110表示成16进制是 0x36。

位运算有移位运算和逻辑运算。

移位有:

  • 左移:操作符为<<,向左移动,右边的低位补0,高位的就舍弃掉了,将二进制看做整数,左移1位就相当于乘以2。
  • 无符号右移:操作符为>>>,向右移动,右边的舍弃掉,左边补0。
  • 有符号右移:操作符为>>,向右移动,右边的舍弃掉,左边补什么取决于原来最高位是什么,原来是1就补1,原来是0就补0,将二进制看做整数,右移1位相当于除以2。

例如:

int a = 4; // 100
a = a >> 2; // 001,等于1
a = a << 3 // 1000,变为8

逻辑运算有:

  • 按位与 &:两位都为1才为1
  • 按位或 |:只要有一位为1,就为1
  • 按位取反 ~: 1变为0,0变为1
  • 按位异或 ^ :相异为真,相同为假

大部分都比较简单,就不详细说了。具体形式,例如:

int a = ...; 
a = a & 0x1 // 返回0或1,就是a最右边一位的值。
a = a | 0x1 //不管a原来最右边一位是什么,都将设为1

小结

本节我们讨论了整数的二进制表示,需要注意的就是负数的二进制表示,以及计算机进行二进制加减操作的过程,从而我们就能理解为什么有的时候正整数计算会出现负数。

我们同样讨论了整数的位运算,需要注意的就是无符号右移和有符号右移的区别。

理解了整数,那小数呢?

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posted @ 2016-04-19 19:20  老马说编程  阅读(5927)  评论(15编辑  收藏  举报