质数与约数
质数
1. 质数和合数是针对所有大于 \(1\) 的 “自然数” 来定义的（所有小于等于1的数都不是质数）。
2. 所有小于等于 \(1\) 的整数既不是质数也不是合数.
3. 质数的判定——试除法
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\(“d\space|\space n”\)代表的含义是 \(d\) 能整除 \(n\) ，（这里的 \(“|”\) 代表整除）
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一个合数的约数总是成对出现的，如果 \(d|n\) ，那么 \((n/d)|n\)，因此我们判断一个数是否为质数的时候，只需要判断较小的那一个数能否整除 \(n\) 就行了，即只需枚举 \(d<=(n/d)\)，即 \(d*d<=n,d<=sqrt(n)\)就行了。
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\(sqrt(n)\) 这个函数执行的时候比较慢.
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bool is_prime(int x) { if (x < 2) return false; for (int i = 2; i <= x / i; i ++ ) if (x % i == 0) return false; return true; }
4. 分解质因数——试除法（算数基本定理）
算数基本定理：任何一个大于 \(1\) 的自然数 \(N\) ，如果 \(N\) 不为质数，那么 \(N\) 可以唯一分解成有限个质数的乘积 \(N=P_1^{a1}P_2^{a2}P_3^{a3}......P_n^{an}\)，这里 \(P_1<P_2<P_3......<P_n\) 均为质数，其中指数 \(a_i\) 是正整数。
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特别要注意——分解质因数与质因数不一样，分解质因数是一个过程，而质因数是一个数.
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一个合数分解而成的质因数最多只包含一个大于 \(sqrt(n)\) 的质因数（反证法，若 \(n\) 可以被分解成两个大于 \(sqrt(n)\) 的质因数，则这两个质因数相乘的结果大于 \(n\) ，与事实矛盾）
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当枚举到某一个数 \(i\) 的时候，\(n\) 的因子里面已经不包含 \([2,i-1]\) 里面的数（已经被除干净了），如果 \(n\%i==0\)，则 \(i\) 的因子里面也已经不包含 \([2,i-1]\) 里面的数，因此每次枚举的数都是质数。
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质因子（质因数）在数论里是指能整除给定正整数的质数。根据算术基本定理，不考虑排列顺序的情况下，每个正整数都能够以唯一的方式表示成它的质因数的乘积。
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两个没有共同质因子的正整数称为互质。因为 \(1\) 没有质因子，\(1\) 与任何正整数（包括 \(1\) 本身）都是互质。
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只有一个质因子的正整数为质数。
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void divide(int x) { for (int i = 2; i <= x / i; i ++ ) if (x % i == 0) { int s = 0; while (x % i == 0) x /= i, s ++ ; cout << i << ' ' << s << endl; } if (x > 1) cout << x << ' ' << 1 << endl; // 大于sqrt(n)的数 cout << endl; }
5. 筛质数（朴素筛法）
- 步骤：把 \([2,n-1]\) 中的所有的数的倍数都标记上，最后没有被标记的数就是质数.
- 原理：假定有一个数 \(p\) 未被 \([2,p-1]\) 中的数标记过，那么说明，不存在 \([2,p-1]\) 中的任何一个数的倍数是 \(p\) ，也就是说 \([2,p-1]\) 中不存在 \(p\) 的约数，因此，根据质数的定义可知：\(p\) 是质数.
- 调和级数:当 \(n\) 趋近于正无穷的时候，\(1/2+1/3+1/4+1/5+…+1/n=\ln{n}+c\)（ \(c\) 是欧拉常数，约等于 \(0.577\) 左右）
- 时间复杂度：约为 \(O(nlogn)\)（注：此处的 \(log\) 特指以 \(2\) 为底）
6. 埃氏筛(稍加优化版的筛法)
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质数定理：\(1～n\) 中有 \({\large \frac{n}{\ln{n}}}\)个质数.
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步骤：在朴素筛法的过程中只用质数项去筛.
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时间复杂度：\(O(nlog(logn))\)。
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int primes[N], cnt; // primes[]存储所有素数 bool st[N]; // st[x]存储x是否被筛掉 void get_primes(int n) { for (int i = 2; i <= n; i ++ ) { if (st[i]) continue; primes[cnt ++ ] = i; for (int j = i + i; j <= n; j += i) st[j] = true; } }
7. 线性筛
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若\(n\approx10^6\)，线性筛和埃氏筛的时间效率差不多，若 \(n\approx10^7\)，线性筛会比埃氏筛快了大概一倍。
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核心：\(1～n\) 内的合数 \(p\) 只会被其最小质因子筛掉。（算数基本定理）
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原理：\(1～n\) 之内的任何一个合数一定会被筛掉，而且筛的时候只用最小质因子来筛，然后每一个数都只有一个最小质因子，因此每个数都只会被筛一次，因此线性筛法是线性的.
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枚举到 \(i\) 的最小质因子的时候就会停下来，即
if (i % primes[j] == 0) break; -
当
i % primes[j] != 0时，primes[j]一定小于 \(i\) 的最小质因子，primes[j]一定是primes[j]*i的最小质因子. -
当
i % primes[j] == 0时，primes[j]一定是 \(i\) 的最小质因子，而primes[j]又是primes[j]的最小质因子，因此primes[j]是primes[j]*i的最小质因子. -
int primes[N], cnt; // primes[]存储所有素数 bool st[N]; // st[x]存储x是否被筛掉 void get_primes(int n) { for (int i = 2; i <= n; i ++ ) { if (!st[i]) primes[cnt ++ ] = i; // j < cnt 不必要，因为 primes[cnt - 1] = 当前最大质数 // 如果 i 不是质数，肯定会在中间就 break 掉 // 如果 i 是质数，那么 primes[cnt - 1] = i，也保证了 j < cnt for (int j = 0; primes[j] <= n / i; j ++ ) { st[primes[j] * i] = true; if (i % primes[j] == 0) break; } } }
约数
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一个数 \(n\) 的约数 \(d\) 和 \(\large\frac{n}{d}\) 是成对出现的
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\(1～n\) 中所有的约数之和等于所有的倍数之和，总共大约 \(n+\frac{n}{2}+\frac{n}{3}+......+\frac{n}{n}\approx n*\log_{2}{n}\)，所以平均到每个数的约数大约为 \(\log_2{n}\)
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约数个数：
- \(N=P_1^{\alpha1}P_2^{\alpha2}P_3^{\alpha3}......P_n^{\alpha n}\)，那么 \(N\) 的一个约数为 \(N=P_1^{\beta1}P_2^{\beta2}P_3^{\beta3}......P_n^{\beta n}\)，其中 \(\beta i\in [0,\alpha i]\)，所以根据乘法定理，总共的约数个数就是 \(\sum_{1}^{n} (\alpha i + 1)\)
- \(int\) 范围内的整数，约数个数最多的大概是 \(1500\) 个
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约数之和
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\[(P_1^0+P_1^1+......+P_1^{\alpha1})*(P_2^0+P_2^1+......+P_2^{\alpha2})*......\\ *(P_n^0+P_n^1+......+P_n^{\alpha n}) \]
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欧几里得算法
- \(gcd(a,b)=gcd(b,a\%b)\)
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裴蜀定理
- \(d=ax+by，其中 d 是a、b的最大公约数一定有解\)
- 对于互质的两个数 \(p,q\)，则有 \(gcd(p,q)=1\)，根据裴蜀定理，\(px+qy=1\)。
- 推广：两个互质的数可以表示任意数，其中 \(x\in N,y\in N\)
- \(pmx+qmy=m\)
- 引理：如果 \(a\in N^+,b\in N^+,gcd(a,b)=1\)，那么由 \(ax+by,x≥0,y≥0\) 不能凑出的最大数是 \(ab−a−b\equiv(a-1)(b-1)+1\)。
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