分层图
分层图
引入
我们发现，在某些最短路问题中，并不只有一种性质的边，或者说允许改变一些边权。为了处理这样的问题， 分层图建模思想 应运而生。
构建
对于这样的问题，我们考虑根据边的不同性质分别建图，在图的内部则是一些普通边，在图与图之间连上那些 “特殊的性质边”，换句话说，就是将 决策前的状态 和 决策后的状态 之间连接一条 权值为决策代价 的边，表示付出该代价后就可以进行此步状态转移 。
决策，就是分层图的构图依据。
具体的实现有两种：
| 数组 | 建边 | 特点 | |
|---|---|---|---|
| 方式一：物理构图 | \(dis[N*K]\) | 图内，图间 | 第 \(i\) 张图的起点是(i-1) * n+1 |
| 方式二：DP构图 | \(dis[N][K]\) | 只有图内，图间由dp决策代替 | \(vis\) 也是二维，多一维模拟层数 |
例题
经典题，\(k\) 层图，图之间有免费边。
按 最短路的奇偶性 来建分层图。本题充分体现了分层图 “拆点” 的思想。
关键是寻找分层依据。发现发车间隔 \(k\) 很小，考虑从它下手。假设当前时间为 \(p\), 走到了 \(u\) 点, 到 \(v\) 的边权为 \(w\)。
- 若 \(p < w\), 没办法走。但其实如果在起点多等待几轮就可以通过了。设在多等的时间 \(\Delta t = \lceil \frac{ w-p }{k} \rceil \times k\) ，因此真正的时间 \(t = \Delta t + p\)。
- 若 \(p \ge w\)，直接走就行。
怎么用 \(u\) 和 \(p\) 来转移呢？我们发现实际的时间并不重要，因为很大一部分多等的时间都可以用 \(k\) 的若干倍轻松统计。于是只需要关心 \(p \mod k\) 就可以啦！，不妨称其为 余数时间。那么定义就有了： \(f[i][j]\) 表示 当前在点 \(i\), 余数时间 为 \(j\) 的 实际时间 的最小值。
- 若 \(p < w\)， 有转移 \(dis[v][(p + 1) \mod k] = \min(dis[u][p \mod k], \ p) + 1\) 。
- 若 \(p \ge w\)，有转移 \(dis[v][(t + 1) \mod k] = \min(dis[u][t \mod k]+ \Delta t, \ t) + 1\) 。
边界条件： \(dis[1][0] = 0\)。
答案：\(dis[n][0]\)。
总结
个人更喜欢 DP建图， 因为它更突出了 “最短路算法本质是 \(dp\) 的运用”。
分层图体现了一种 “拆点” 思想。
参考博客
关于分层图（学了你不吃亏，学了你不上当 雾） - AcWing
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