数据结构与算法-08堆
堆
堆（Heap）是一种特殊的树形数据结构，它满足以下两个条件：
堆是一棵完全二叉树，即除了最后一层，其他层都是满的，最后一层从左到右填满。
堆中每个节点的值都大于等于（或小于等于）其子节点的值，这种性质称为堆序性。
根据堆序性，堆可以分为两种类型：
- 大根堆（Max Heap）：每个节点的值都大于等于其子节点的值。
- 小根堆（Min Heap）：每个节点的值都小于等于其子节点的值。
堆的主要应用是在排序算法中，例如堆排序（Heap Sort）和优先队列（Priority Queue）。堆排序是一种基于堆的排序算法，它的时间复杂度为O(nlogn)，空间复杂度为O(1)。优先队列是一种数据结构，它可以用堆来实现，用于维护一组元素中的最大值或最小值。
堆可以使用数组来实现，具体实现方式为：
对于一个节点i，它的左子节点为2i+1，右子节点为2i+2。
对于一个节点i，它的父节点为(i-1)/2。
以下是一个简单的Python示例代码，演示了如何使用数组实现大根堆：
class MaxHeap:
def __init__(self):
self.heap = []
def push(self, value):
self.heap.append(value)
self._sift_up(len(self.heap) - 1)
def pop(self):
if len(self.heap) == 0:
raise ValueError("Heap is empty")
value = self.heap[0]
last_value = self.heap.pop()
if len(self.heap) > 0:
self.heap[0] = last_value
self._sift_down(0)
return value
def _sift_up(self, index):
parent_index = (index - 1) // 2
while index > 0 and self.heap[index] > self.heap[parent_index]:
self.heap[index], self.heap[parent_index] = self.heap[parent_index], self.heap[index]
index = parent_index
parent_index = (index - 1) // 2
def _sift_down(self, index):
left_child_index = 2 * index + 1
right_child_index = 2 * index + 2
largest_index = index
if left_child_index < len(self.heap) and self.heap[left_child_index] > self.heap[largest_index]:
largest_index = left_child_index
if right_child_index < len(self.heap) and self.heap[right_child_index
Python中的heapq模块
Python中的heapq模块提供了一些堆操作的函数，包括将列表转换为堆、将元素添加到堆、从堆中删除元素、获取堆中的最小值或最大值等。heapq模块使用的是小根堆，即堆中的最小值在堆顶。
常用的heapq函数：
- heapify(iterable)：将可迭代对象转换为堆。
- heappush(heap, item)：将元素添加到堆中。
- heappop(heap)：从堆中删除并返回最小值。
- heappushpop(heap, item)：将元素添加到堆中，并返回堆中的最小值。
- heapreplace(heap, item)：从堆中删除并返回最小值，并将元素添加到堆中。
- nlargest(n, iterable[, key])：返回可迭代对象中最大的n个元素。
- nsmallest(n, iterable[, key])：返回可迭代对象中最小的n个元素。
使用示例：
import heapq
# 将列表转换为堆
heap = [3, 1, 4, 1, 5, 9, 2, 6, 5, 3
# 将列表转换为堆
heap = [3, 1, 4, 1, 5, 9, 2, 6, 5, 3]
heapq.heapify(heap)
print(heap)
# 将元素添加到堆中
heapq.heappush(heap, 0)
print(heap)
# 从堆中删除并返回最小值
min_value = heapq.heappop(heap)
print(min_value)
print(heap)
# 将元素添加到堆中，并返回堆中的最小值
min_value = heapq.heappushpop(heap, 7)
print(min_value)
print(heap)
# 从堆中删除并返回最小值，并将元素添加到堆中
min_value = heapq.heapreplace(heap, 8)
print(min_value)
print(heap)
# 返回可迭代对象中最大的n个元素
largest = heapq.nlargest(3, heap)
print(largest)
# 返回可迭代对象中最小的n个元素
smallest = heapq.nsmallest(3, heap)
print(smallest)
在这个示例代码中，首先定义了一个列表heap，然后使用heapq.heapify函数将其转换为堆。接着使用heapq.heappush函数将元素0添加到堆中，使用heapq.heappop函数从堆中删除并返回最小值，使用heapq.heappushpop函数将元素7添加到堆中，并返回堆中的最小值，使用heapq.heapreplace函数从堆中删除并返回最小值，并将元素8添加到堆中。最后使用heapq.nlargest函数返回堆中最大的3个元素，使用heapq.nsmallest函数返回堆中最小的3个元素。
