积性函数和狄利克雷卷积学习笔记

积性函数和狄利克雷卷积学习笔记

积性函数

定义

若函数 \(f(x)\) 满足 \(f(ab)=f(a)f(b)\)，其中 \(a,b\) 互质，我们称这个函数是积性函数。

若 \(a,b\) 不互质则是完全积性函数。

常见积性函数

1. 欧拉函数 \(\phi\)

2. 莫比乌斯函数 \(\mu\)

3. \(k\) 为定值的 \(f(x)=gcd(x,k)\)

4. \(d\) \(d(x)=x\) 的因数个数

5. \(I\) \(I(x)=1\)

6. \(Id\) \(Id(x)=x\)

7. \(\epsilon\) \(\epsilon(x)=\begin{cases}1,x=1\\0,x\neq1\end{cases}\)

狄利克雷卷积

定义

也叫狄利克雷乘积。形如下式：

\[h(n)=\sum_{ab=n,a>0,b>0}f(a)g(b) \]

另一种写法为：

\[h(n)=\sum_{d|n,d>0}f(d)g(\frac nd) \]

不难发现两种写法等价。在数论中，也将它简记为 \(h=f * g\)。

性质

1. 狄利克雷卷积满足交换律和结合律。

2. 记 \(\epsilon(x)=\begin{cases}1,x=1\\0,x\neq1\end{cases}\)，发现对所有函数均有：\(f*\epsilon=f\)，故称 \(\epsilon\) 为单位数论函数或卷积单位元。

3. 若 \(f\ast g=\epsilon\)，称函数 \(g\) 是函数 \(f\) 的逆元。也记 $g=f^{-1} $，根据结合律，容易有任意函数均满足 \(f* f^{-1}=\epsilon\)。

4. 由于莫比乌斯函数具有性质 \(\sum_{d|n}\mu(d)=\begin{cases}1,n=1\\0,n\neq1\end{cases}\)，将左式看作 \(\mu* I=\epsilon\)，不难发现 \(I\) 和 \(\mu\) 互为逆元。