【题目】CF232C Doe Graphs
CF232C Doe Graphs
一看到题第一时间想到的大概是点的个数满足斐波那契数列的关系，即\(fib_i=fib_{i-1}+fib_{i-2}\)，在题目中可以得知\(fib_{0}=1,fib_{1}=2\)（这里的\(fib_{i}\)即为文中的\(D_{i}\)）
然后考虑怎么求第n次的i到j的距离呢？自然想到这可能和上一次有关系，那么有什么关系呢？我们自然而然想到了递推（不习惯用f，这里用dp取代）
设\(dp_{n,i,j}\)表示第n层，从i到j至少需要走的路径长度，然后考虑它怎么转移
下面分三种情况：
- \(i,j≤fib_{n-1}\)，即两个点都在第\(n-1\)的图上，这时候考虑\(dp_{n,i,j}\)等于什么，显然得出\(dp_{n,i,j}=min(dp_{n-1,i,j}\) //即直接从这两个点走，不经过第n层新增的点
\(,min(dp_{n-1,1,i}+dp_{n-1,j,fib_{n-1}}+2,dp_{n-1,i,fib_{n-1}}+dp_{n-1,1,j}+2)\) //即经过新加的\((1,fib_{n-1}+1)\)和\((fib_{n-1},fib_{n-1}+1)\)的边
- \(i≤fib_{n-1},j>fib_{n-1}\) 可以试想把j移到j-fib_{n-1}的位置，即原图形的镜像位置（莫名皇室）
这个玩意儿愿读者自行画图理解那么它经历什么呢，显然是\(min(dp_{n-1,1,i},dp_{n-1,i,fib_{n-1}})\) //即i点到1或者\(fib_{n-1}\)的距离
\(+dp_{n-2,1,j-fib_{n-1}}+1\) //即j点到1点的距离
若i,j相反则swap一下即可
- \(i>fib_{n-1},j>fib_{n-1}\) 其实此时的位置就相当于它与第\(n-1\)层的镜面位置
\(dp_{n,i,j}=dp_{n-2,i-fib_{n-1},j-fib_{n-1}}\)
此时处理好了dp，如果你这是以为大功告成了，那我告诉你你想简单了，想一想就知道这个dp有多庞大！！那肿么办呢？
通过观察发现这些式子中出现了很多很多个形如\(dp_{n-1,1,x}\)和\(dp_{n-1,x,fib_{m}}\)的式子，而且其它式子都可以通过这个得到！！
然后突然syx笑出了声，这不就直接处理一下就行了吗？！（然后笑着笑着就处理了一个晚上）
这怎么处理呢？咱又开始找规律了
因为对于每个询问，x是固定的，也就是说每层的dp值是固定的，那我们干脆把dp重新定义一下，\(dp_{i,1/2,1/2}\)表示对于第i层图，当前是给定的两个点中的第一个点还是第二个点，是1到x的距离还是x到\(fib_{n-1}\)的距离
我们发现对于两个点处理的方式都是一样的（因为只需要算1到x,x到\(fib_{n-1}\)的距离），所以这里只讲一个了
我们先来看\(dp_{i,1/2,1}\)
不难发现，这个特好处理
当\(x≤fib_{n-1}\)时，\(dp_{n,1,x}=min(dp_{n-1,1/2,1},dp_{n-1,1/2,2}+2)\) 为什么呢？还是考虑此张图与上一张图的关系，从1到x就以为这1可以连到\(fib_{n-1}+1\)的节点上，然后再由\(fib_{n-1}+1\)的节点连到\(fib_{n-1}\)的节点，那么你瞧瞧，你瞧瞧，从x到\(fib_{n-1}\)的距离等于什么？等于\(dp_{n-1,1/2,2}+2\)啊！！于是再与直接不管第n层图新增的点相比较，就求出来了
当\(x>fib_{n-1}\)时，就更好玩了，不就和之前讲到的一样，镜像一下，\(dp_{n,1/2,1}=dp_{n-2,1/2,1}+1\)
接着看\(dp_{i,1/2,2}\)
当\(x≤fib_{n-1}\)时，\(dp_{n,1/2,2}=min(dp_{n-1,1/2,1},dp_{n-1,1/2,2})+(n-1)/2+1\) 这个玩意儿最重要的就是(n-1)/2+1的意思，此处希望读者先自行思考，然后看下一行
那么这个式子是什么意思呢？你考虑一下从第n层图中新增的第一个节点（即编号\(fib_{n-1}+1\)的节点）到最后一个节点的距离，它恰好是(n-1)/2（n=0或n=1时要特殊处理），然后再加上1到\(fib_{n-1}+1\)或者\(fib_{n-1}\)到\(fib_{n-1}+1\)的一条边，距离一共是这么长
当\(x>fib_{n-1}\)时，也是镜像一下，\(dp_{n,1/2,2}=dp_{n-2,1/2,2}\)
于是你懂该怎么做了！！但是劝大家自己码一下，这题真的真的真的需要很锻炼细心，哪怕是先看一遍我的code再自己码也要码一遍
然后就开始代码大放送了！！
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
#define pb push_back
#define mk make_pair
#define fir first
#define sec second
inline int read() {
int x(0),neg(1);char ch(getchar());
while(!isdigit(ch)) {if (ch=='-') neg=-1;ch=getchar();}
while(isdigit(ch)) {x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48);ch=getchar();}
return x*neg;
}
const int MAXN=100;
int n,fib[85];
int dp[MAXN+5][2][2];
inline void DP_X(int tot,int x) {
if (tot==0) {
dp[tot][1][1]=dp[tot][1][2]=0;
}
else if (tot==1) {
if (x==1) dp[tot][1][1]=0; else dp[tot][1][1]=1;
if (x==2) dp[tot][1][2]=0; else dp[tot][1][2]=1;
}
else {
if (x<=fib[tot-1]) {
DP_X(tot-1,x);
dp[tot][1][1]=min(dp[tot-1][1][1],dp[tot-1][1][2]+2);
dp[tot][1][2]=min(dp[tot-1][1][1],dp[tot-1][1][2])+(tot-1)/2+1;
}
else {
DP_X(tot-2,x-fib[tot-1]);
dp[tot][1][1]=dp[tot-2][1][1]+1;
dp[tot][1][2]=dp[tot-2][1][2];
}
}
}
inline void DP_Y(int tot,int y) {
if (tot==0) {
dp[tot][2][1]=dp[tot][2][2]=0;
}
else if (tot==1) {
if (y==1) dp[tot][2][1]=0; else dp[tot][2][1]=1;
if (y==2) dp[tot][2][2]=0; else dp[tot][2][2]=1;
}
else {
if (y<=fib[tot-1]) {
DP_Y(tot-1,y);
dp[tot][2][1]=min(dp[tot-1][2][1],dp[tot-1][2][2]+2);
dp[tot][2][2]=min(dp[tot-1][2][1],dp[tot-1][2][2])+(tot-1)/2+1;
}
else {
DP_Y(tot-2,y-fib[tot-1]);
dp[tot][2][1]=dp[tot-2][2][1]+1;
dp[tot][2][2]=dp[tot-2][2][2];
}
}
}
inline int query(int tot,int x,int y) {
if (tot==0) return 0;
else if (tot==1) {
if (x==y) return 0;
return 1;
}
else if (x<=fib[tot-1]) {
if (y<=fib[tot-1]) {
return min(query(tot-1,x,y),min(dp[tot-1][1][1]+dp[tot-1][2][2],dp[tot-1][1][2]+dp[tot-1][2][1])+2);
}
else {
return min(dp[tot-1][1][1],dp[tot-1][1][2])+dp[tot-2][2][1]+1;
}
}
else {
return query(tot-2,x-fib[tot-1],y-fib[tot-1]);
}
}
signed main() {
int m=read(),n=read();
fib[0]=1;fib[1]=2;
n=min(n,78ll);
for (int i=2;i<=n;++i) fib[i]=fib[i-1]+fib[i-2];
for (int i=1;i<=m;++i) {
int x(read()),y(read());
memset(dp,0,sizeof(dp));
if (x>y) swap(x,y);
DP_X(n,x);DP_Y(n,y);
printf("%lld\n",query(n,x,y));
}
puts("");
}
