10.8 模拟赛

前言

业精于勤荒于嬉，行成于思毁于随

正文（模拟赛）

卦象：吉

感受：开 T1，被 T1 的 Manacher 做了一局又一局，一个小时后过掉样例。开 T2，15min 码了点生草的东西，没什么下文了。还剩下两个多小时，推 T3 的式子，想到了莫反但没有下文，思考无果后弃疗。剩余不足一个小时码 T4，就很难受，一眼会暴力分数，然后写暴力写到一半突然发现可以数据结构优化，但是没时间了，无奈只获得 40pts

本来可以奔 300 的，结果变成了挂分大赛，总分数 152pts。T1 因为取模不完全挂了 30pts，T2 因为少判断一个 corner case 挂了 48pts，T4 没挂分，但是没打正解相当于挂了 60pts

膜拜 FJJ 大巨，获得 370pts

T1

Manacher 板子题，被取模教育了

T2

按照样例构造即可，构造没有难度，只是需要静下心来去判无解……

T3

这题面有点抽象，翻译一下——

给定一个长度为 \(n\) 的序列 \(\{ a_n \}\)，\(Q\) 次查询，每次查询一个 \(c\)，求 \(\sum_{i=1}^{n} \frac{a_i}{\gcd(a_i,c)}\)

数据规模除了 \(Q \le 5 \times 10^5\) 其它的都是 \(10^7\)

考虑推式子，对于一次查询的 \(c\)，有：

\[\begin{aligned} ans &= \sum_{i=1}^{n} \frac{a_i}{\gcd(a_i,c)} \newline &= \sum_{i=1}^{n} \sum_{k \mid c \land k \mid a_i} [\gcd(a_i,c)=k] \frac{a_i}{k} \newline &= \sum_{i=1}^{n} \sum_{k \mid c \land k \mid a_i} [\gcd(\frac{a_i}{k},\frac{c}{k})=1] \frac{a_i}{k} \newline &= \sum_{i=1}^{n} \sum_{k \mid c \land k \mid a_i} \sum_{d \mid \frac{a_i}{k} \land d \mid \frac{c}{k}} \mu(d) \frac{a_i}{k} \newline &= \sum_{i=1}^{n} \sum_{k \mid c \land k \mid a_i} \sum_{dk \mid a_i \land dk \mid c} \mu(d) \frac{a_i}{k} \newline &=\sum_{k \mid c} \sum_{dk \mid c} \mu(d) \sum_{i=1}^{n} \frac{a_i}{k} \cdot [dk \mid a_i] \newline &=\sum_{k \mid c} \sum_{T \mid c} \mu(d) \sum_{i=1}^{n} \frac{a_i}{k} \cdot [T \mid a_i] \newline &=\sum_{T \mid c} \sum_{k \mid T} \frac{\mu(\frac{T}{k})}{k} \sum_{i=1}^{n} a_i \cdot [T \mid a_i] \newline \end{aligned} \]

就没了，中间的 \(\sum\) 是两个积性函数的狄利克雷卷积，所以也是积性函数，也就可以线性筛。前后两个 \(\sum\) 都可以枚举约数，不过不要写成 \(O(\sqrt{V})\) 的枚举约数，略微预处理一下，整点精细实现

时间复杂度 \(O(n+md(V))\)

T4

唐题，又是对值域上扫描线，然后数据结构维护一下区间即可

小结

吃了好多好多的数论题……

后记

世界孤立我任它奚落

完结撒花！