10.7 模拟赛

前言

业精于勤荒于嬉，行成于思毁于随

正文（模拟赛）

卦象：吉

感受：T1 15min 写完，T2 一直到比赛结束都没有想出来，全剧终

赛后发现获得 90pts，T1 挂了，只剩 60 pts，T2 乱搞贪心只有 30pts

瞄了眼 T3，简单主席树板子题；然后看 T4，又是杜教筛板子题

国庆这几天，模拟赛的分数如流星一般，呼啸着划过天幕，向着地平线坠去

也许地平线不是我的下界，只是比赛分数的定义域为非负整数……

T1

考虑什么样的子图会造成贡献，最终发现只有菊花图和三元环

哦，然后三元环不知道为什么莫名其妙寄了，赛后更换了判断方式，40min 后才 AC

T2

陷入思维定式的 \(2^S\)，只想着状压集合，没想着状压点灯顺序的排列，影响范围 \(\le 7\) 的数据范围还是太灵性了

剩下的就没什么了，把排列预处理出来，\(i \to i+1\) 转移的时候枚举位置，然后删点时计算贡献并转移

啧，据说还有模拟退火做法，不过这个做法目前只有 80pts……

T3

相当于删一个点，然后对值域上两个区间递归去做

把值域当做下标 rev 数组当做序列权值，相当于求区间第“一半区间长度”小

简单主席树维护（写的时候没有 pushup，虚空调试 2h）

T4

哦，原来是数论题，计算：

\[\sum_{a=1}^{n} \sum_{b=1}^{n} \sum_{c=1}^{n} \sum_{d=1}^{n} [ac=bd] \]

内部的 \(ac=bd\) 是类似反比例函数的形式，有点抽象，不妨移项变成正比例函数的形式，即：

\[\frac{a}{b} = \frac{d}{c} \]

相当于在 \(n\times n\) 的点，枚举所有过原点的直线，一条直线对答案的贡献是直线所经过的整点数目的平方

简单来说，答案可以写作

\[\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} [\gcd(i,j)=1] \Big\lfloor \frac{n}{\max(i,j)} \Big\rfloor^2 \]

就这坨玩意，可以把 \(\max\) 去掉，因为 \(i,j\) 地位是等价的，即

\[2 \Big( \sum_{i=1}^{n} \Big\lfloor \frac{n}{i} \Big\rfloor^2 \varphi(i) \Big) - n^2 \]

\(n\) 较小就线性筛，\(n\) 较大就杜教筛，没了

小结

再美的流星终究会坠落……

后记

世界孤立我任它奚落

完结撒花！