海亮寄 7.17

前言

业精于勤荒于嬉，行成于思毁于随

正文（模拟赛）

卦象：平（自从来海亮，每天早上算一卦，不存在一天卦象为大吉）

感受：再这么下去，就要和这个世界说再见了。T1 感觉做过，但想不起来了。分析题意和观测数据范围之后，盲猜贪心，35min 写了一份疑似正解。然后就是熟悉的厕所居住环节，仅仅居住了 15min，可喜可贺！回来开 T2，看到一坨式子就没有推下去的欲望。遂开 T3，经典猜结论猜错，洋洋洒洒辛苦半天，过不了大样例，遗憾退出。T3 闹个乌龙之后心态微崩，连打暴力的心思都没有了。时间剩余 100min+，决定开 T4，想赌一把 T4 会不会和昨天的 T4 一样。结果是个神秘的最优化问题，DP 是肯定的，但数据范围比较不会做，有点像做过的一道黑题蔬菜。正苦思冥想着，消化系统继续发力，又去厕所小憩一会。这一去一回，又是 10min+ 白白浪费掉。遗憾的是，到比赛结束都再无建树，暴力分数也没有写。总会有些人闲的没事非得问个为什么，其实云落不想回答，很累，但为了抵御这群人接下来的聒噪环节，还是解释一下比较好。T2 T3 T4 的部分分数都相当好写，拼一拼甚至能 100pts+。但自从第二次厕所归来后（厕所外特别热，机房内特别冷，外加今天没有拿防晒衣），整个人就掉线了。回忆一下当时的感觉，又冷又困，又饿却又感觉肚子很胀（没错，胃部已经发出了细密绵长的声音，而小腹以下却老是提醒我去厕所居住一会）。寒冷不必多言，空调直吹加没拿防晒服，直接人形冰雕一枚。困是个什么情况无从得知。和第一次模拟赛有点区别，不是那种四肢发软的感觉，而是由内而外的疲惫。明明感觉自己还能在想一会，再敲一会代码。但是敲着敲着，不知不觉地就停下来了，然后进入一个发呆的模式。不知道剩余多少分钟后，意识就开始模糊，最后趴在桌子上就进入了休眠。但并没有睡着，是一种介于清醒和睡眠之间的状态。啥感觉呢？就是还能听见旁边的人在敲键盘，还能听见空调吹动的“呼呼”声，还能听见有些人比赛时各种情绪的宣泄（包括但不限于口吐国粹）。但就是睁不开眼睛，头趴在桌子上就没有起来的能力，不是没有力气，但就是起不来。仿佛，大脑很抗拒完成这个动作。等到状态恢复正常的时候，时间已然只剩了不到 20min。然后又是一顿去厕所、被外界热蒙、被空调冻死三件套。最后，仓皇地交了一下 T1 的代码，宣告模拟赛草草结束

（没有动力补题，精神上好抗拒，躯体上好虚弱）

现在真的要变成条件反射了，早饭时感觉自己状态非常好。一到机房开始打模拟赛，整个人就跟散装的一样

好迷茫，好无助，对自己失了信念，对未来失了憧憬

T1

反悔贪心板子

T2

前置知识：欧拉函数相关性质

\[\varphi (p^k) = p^k - p^{k-1} = p^k \times \frac{p-1}{p} \]

由上述结论，再根据算术基本定理，有

\[\varphi (x) = x \times \prod_{\text{p is prime} \ \land \ p|x}\frac{p-1}{p} \]

回到原题上来，感觉有点难做，所以先做 \(a_i \le 20\) 的部分分。答案的结构比较抽象，考虑 DP

发现质数个数只有 \(8\) 个，想到状压

结合以上分析，再加一点灵感，搞出 DP 状态

记 \(f_{i,S}\) 表示……（文字表述晦涩难懂），以下是云落认为的形式化表述

记 \(T = \{ a_1 ,\ a_2 ,\ \cdots ,\ a_i \}\)
记 \(\text{mul}()\) 是一个由集合到自然数的映射
有 \(\text{mul}(A) = \prod \limits _{c \in A} c\)
根据以上定义，\(f_{i,S}\) 可被表示为：

\[f_{i,S} = \sum_{A \subseteq T \ \land \ \text{mul}(A) \text{的质因数集合为} S} \text{mul}(A) \]

（这种东西一出来，满脑壳都是疑问）

经过一顿观测，发现这个玩意对计算答案非常友好。由于我们把质因数集合直接记录下来了，所以在题解开始的时候 \(\frac{p-1}{p}\) 的贡献就可以拿出来算

形式化地，有：

\[ans = \sum_{S} f_{n,S} \times \prod_{p \in S} \frac{p-1}{p} \]

答案计算没问题了，接下来是初始化和转移

初始化比较没脑子，\(f_{0,\varnothing} = 1\)，考虑转移

状压 DP 往往需要刷表，所以优先考虑刷表转移

（经过一番激情格斗，得到如下两种转移）

\[\begin{aligned} f_{i-1,S} &\to f_{i,S} \newline f_{i-1,S} \times a_i &\to f_{i,S \cup T} \nonumber \end{aligned} \]

其中 \(T\) 表示 \(a_i\) 的质因子集合

截止到现在，我们已经搞定了 \(a_i \le 20\) 的部分分。接下来 level-up，考虑 \(a_i \le 3000\) 的问题

根据 寿司晚宴、卡牌 等题的相关经验，考虑根号分治

讲一个绕口令：

对于一个数 \(x\)，其 \(\ge \sqrt{x}\) 的质因子个数总是 \(\le 1\) 的

所以，容易想到，对于质因子大小 \(\le \sqrt{V}\) 的质因子，我们用上面的做法（即状压质因子集合），而对于大质因子，我们及时结算贡献

结算贡献有点长脑子，不管它，先搞点 naive 的东西

注意到 \(f_{i,S}\) 中 \(i\) 的枚举是没有顺序的，只要保证插进来一个 \(a_i\) 即可。而在 level-up 之后，大质因子会作为另外的贡献来源去影响 \(f\) 数组。因此，不妨先将 \(a_i\) 不完全质因数分解（只分解出 \(\le \sqrt{V}\) 的质数），然后以剩余的大质因子为关键字对 \(\{ a_n \}\) 排序

经过这么一顿操作，发现大质因子相同的 \(a_i\) 会在序列上呈现若干首尾相接的连续段（这种东西性质都很优的）

回过头再去看计算答案的式子，再结合上述“连续段”的分析，是不是有结算这种感觉了？

大神说：“对于每一个状态 \(S\)，我们可以直接把大质数 \(\frac{p-1}{p}\) 的贡献丢给连续段末尾的状态 \(f_{now,S}\) 里”

（大神反手掏出了一个转移式子）

\[{f'}_{now,S} \gets (f_{now,S} - f_{lst,S}) \times \frac{p-1}{p} + f_{lst,S} \]

（看到这一坨，人麻了）

大神说：“\(lst\) 表示上一次结算位置的下标”

不过仔细想一轮又感觉很对，因为 \(\frac{p-1}{p}\) 只贡献给当前大质因子所对应的连续段（不理解就回去看 \(ans\) 的计算式子），所以在上一次结算前（形式化地，对于 \([1,lst]\)）的部分，它们不应该吃到当前大质因子 \(p\) 的 \(\frac{p-1}{p}\) 贡献。贡献给当前连续段后，再把之前扣除的部分再补回来，就很对了

从另外一个角度来说，\(f\) 数组的定义本质上就是一个前缀和，而 \(\frac{p-1}{p}\) 的贡献是一段区间，所以它应该贡献给整个 \(p\) 对应的连续段，前缀和差分掉即可。只不过由于接下来的转移只会用到 \(f_{now}\)，所以只需要在连续段末进行结算

一顿递推完之后，就是计算答案的环节，比较 naive，不多赘述（就赘述一句，不要忘记把小质数的 \(\frac{p-1}{p}\) 的贡献乘进去！）

T3

（std 被 hack 了，出题人抢救了一晚上，疑似抢救成功）

若干矩形的交一定仍然是矩形，在这个交上的所有点满足，覆盖这个点的矩形构成的集合相同

看到集合相同，想到集合哈希

那么每次矩阵异或一轮随机数，差分前缀异或和维护哈希值

容易想到用 BFS 维护哈希值相同的连通块，check 其是否为矩形

还需要判一个 corner case，即符合上述条件（哈希值相等、连通块为矩形）的部分还可以是矩形的补的交

所以最后要判一下该部分是否在矩形范围内

T4

为了方便表述，记 \(A_i = F_i +i ,\ B_i = L_i + i\)

记 \(f_i\) 表示在第 \(i\) 天做菜，转移方程形如：

\[f_i = \max_{j<i \land A_{j+1} \ge B_i} \{ f_j + A_{j+1} \times C_i \} - i \times C_i \]

抛开 \(A_{j+1} \ge B_i\) 的限制不谈，直接就是李超线段树的板子

现在要维护斜率，要求斜率在值域上是有限制的，所以直接考虑线段树套李超树

DS 大法好哇！

小结

难度排序 T1 < T3 < T4 < T2

后记

世界孤立我任它奚落

完结撒花！