海亮寄 7.7

前言

业精于勤荒于嬉，行成于思毁于随

正文（模拟赛）

卦象：平

模拟赛原题来源：You-Know-Where

感受：是 OI 赛制，\(3\) 个小时 \(4\) 道题，分数 \(143/400\)。算是暑假一期集训以来第二次受挫（第一次也是被 CSP 模拟赛薄纱）。今天犯了很多低级失误，果然只有 OI 赛制才能更多地暴露问题。T1 和 T4 寒假做过，但也尽数遗忘，赛时都是现推的。T1 是贪心题目，典型的结论题，硬控自己一个点，时间开销有点大，不过依旧可控。然后扫了一眼后三道题目，T4 做过就先不看，T3 没有读懂题，故决定死磕 T2。写了一个像模像样的 DP 之后，发现样例不过并且偏差很大，然后手模样例却无果，一度认为是题出错了。无法和出题人在 T2 上建立联系，遂放弃。发生上述意外之后，时间仅剩余 70min（最后发现读错题了，感觉赛时的自己还是太幽默了）。试图理解 T3 题意，但失败，无奈去思考 T4 正解。其实正确的做法应该是去搞 T4 的暴力分数，更稳妥一些。但考虑到 T4 寒假见过，不想拘泥于暴力分数，故试图思考正解。5 min 获得正解思路，剩余时间用来实现和调试。中间的过程一波三折，还重构了一次，在最后的 3min 内终于通过编译并且通过样例数据。由于样例比较大，所以当时预计得分 200/400，但实际 143/400。挂分原因是线段树数组仅开了一倍空间，有点忙中出错了（但其实由于这个题目卡常，所以即便空间开对也只能拿 59pts）。审题问题暴露的比较严重，T2 T3 两道题目放弃确实给心态给予了沉重打击，而且也给补题环节带来了极大的痛苦。如果不是脑海里还有一点点关于 T4 解法的印象并且非常幸运地调试成功，可能今天的分数就要和小登们做一桌了

题解链接

T1

贪心结论题。优先删除子树深度较大的结点。

T2

比较神秘的 DP 期望题，赛时读错题目，补题听讲之后没有理解思路

重整旗鼓之后还是不会，听了墨鱼讲了一遍，疑似会了

每个点独立被选的概率是好求的，随便 DP 即可，记作 \(f_u\)

注意到 \(a_u\) 的只会给子树范围内的结点贡献，换言之 \(u\) 只会接受其祖先的贡献。所以记 \(ans_u\) 表示钦定选择 \(u\) 之后其所有祖先给它贡献的期望分数，然后考虑转移

假设已经有了 \(ans_u\) 和 \(ans_v\)（其中 \(v\) 是 \(u\) 的子结点），试图递推 \(ans_x\)（\(x\) 是 \(v\) 的子结点）。当钦定选择 \(x\) 的时候，\(v\) 一定不会贡献给 \(x\)，所以只有 \(u\) 结点会携带着其祖先向 \(x\) 大踏步地贡献过来

注意到另外一个事实，即 \(ans_u\) 表示 \(u\) 被选择，而 \(ans_v\) 恰好对应 \(u\) 不被选择的情况，所以只需要全期望公式弄一下就可以递推出 \(ans_x\)

然而 \(ans_u\) 对应的概率并非 \(f_u\)，注意到 \(x\) 钦定被选中，意味着 \(v\) 一定不被选中，所以 \(f_u\) 中间属于 \((1-f_v)\) 的贡献应当被刨除

综上所述，有

\[ans_x = ans_u \times \frac{f_u}{1-f_v} + ans_v \times (1 - \frac{f_u}{1-f_v}) \]

那这就是随便维护即可，时间复杂度线性

T3

语文不行呐！

其实读明白题目之后感觉自己一下子大脑清明了许多（当然也有可能是花露水提神醒脑了一下）

下午讲题收获颇丰，因为在午休的时候恶补了一下题意，然后多想了一会，感觉起来很不错

实际上可以通过手模一些连续且性质优秀的下标，观测到一些和 $\log $ 有关的结构，比如倍增

注意到蝴蝶变换可以两块合并，方式形如洗牌

题目形如一个字符串判等，容易想到字符串哈希

所以现在是用倍增数组维护哈希值，然后就没有然后了

可能实现上下标从 \(0\) 开始是需要特别注意的！

T4

赛场上想到的就是正解，但因为线段树空间开小挂分，并且题目卡厂，没有拿到全分

谴责 ban 题人调小时限的行为！

枚举 popcount，或总是越或越大的，与总是越与越小的，所以枚举 popcount 后就容易划分出两个集合，对于临界的部分，发现其存在合法的划分方案的必要条件是 popcount 为临界值的数都相等

剩下的是一些细节问题，因为需要查询区间与值或值，所以开 30 棵线段树维护

（哎，就是这个鬼地方卡常呐）

小结

今天补题非常痛苦，再次证明了审题的重要性

后记

世界孤立我任它奚落

完结撒花！