1.15 上午-网络流
前言
勿让将来，辜负曾经
我爱网络流，哇哦哇哦——争取一千字以内秒完（不算代码、公式）
这里声明一点，考虑到网络流题目的独特性，接下来的“一题一解”部分将不会给出代码（也许会给一些代码的实现细节）
正文
知识点
其实网络流的东西还是不少的，如果扯远了云落能噼里啪啦说五千字
老规矩——博客安利时间——传送门
但是这个比较古老了，里面少了很多东西（预流推进算法、各种时间复杂度证明、上下界网络流、费用流的 dijkstra 写法以及证明、势能函数的引入、网络流的线性规划理解）
但其实作为一个黑盒算法，目前只需要掌握一些较为基础的东东即可，云落认为上这篇古老的博客可以支撑诸位顺利食用接下来的题目咯，诸位觉得捏？
一题一解
T1 【模板】网络最大流（P3376）
素板，速切（EK，Dinic，ISAP，HLPP 均可，写 HLPP 的可以去 P4722 蹭个双倍经验）
T2 方格取数问题（P2774）
云落可能比较喜欢网络流，做多了有点感觉。对于这种方阵上面的相邻格子操作或者约束问题，通常考虑黑白染色转化为二分图结构，进而添加超级源点和超级汇点，简单转化为一个 最大流/最小割 问题
这道题目就很典，黑白染色是经典套路。求最大和转化为整体减去删去的最小和，进而发现这是一个类似最小割的问题，直接做做完咯
网络的构建——
我们称 \(x+y\) 是奇数的格子为黑格，反之则为白格
首先源点向黑格连边，容量显然为格子上的数；白格向汇点连边容量同样是格子上的数
然后对于所有黑格，向它的四联通范围内每个格子连边，容量为 \(+ \infty\)
对于上述所有连边，相应地建立其反向边即可
答案是所有的格子的和减去最小割
T3 文理分科（P4313）
文理俩字都拍在这里了，是不是很容易想到 \(S-T\) 割的概念？
求最大值，直接用上题类似的容斥套路，所有权值刨除最小割
如何构造网络？
大致有一个想法，如果一条边被割开，说明其对最小割造成了贡献，在题目中表现为这个决策不成立（注意最小割求的是刨去的未选的权值）
自然地，连边大概也类似上一道题目，云落钦定源点向学生连边，容量为文科贡献；同学向汇点连边，容量为理科贡献
组合贡献如何呈现在网络上？
以文科为例，大胆猜测其连边与源点和其四联通范围内的其它点有关。回到我们的问题，求最小割——求最少的刨除权值
组合贡献不被计入最小割中，当且仅当 \((x,y)\) 以及四联通范围内的点同时不被计入最小割。换言之，只要存在一个人不选文，那么组合贡献就无法贡献给答案，也就是会贡献给最小割
那么，一个比较自然的想法：还是以文科为例，对于 \((x,y)\) 考虑新建一个结点，表示 \((x,y)\) 与四联通范围内共同给出的组合贡献。源点指向这个新点，容量为组合贡献的权值。新点指向 \((x,y)\) 以及四联通范围内的所有点，容量为 \(+ \infty\)
仔细思考之后发现这么拍脑袋想出来的做法是有正确性的，于是乎相应的把理科的边建出来就做完了……
T4 最长不下降子序列问题（P2766）
我嘞个七拼八凑……
第一问 \(O(n^2)\) DP，神犇要是想炫技也可以写 \(O(n \log n)\) 的做法，但请问接下来的两问又该如何完成捏？
二三问其实并不好看出来（反正网络流的题目没有一道长得像网络流的）
首先朴素 DP 似乎不是很好解决这个问题，且这个问题是一个最值问题。一个解决最值问题的 trick——可以蒙一蒙算法，就按这个顺序——贪心 \(\to\) 二分 \(\to\) 动态规划 \(\to\) 最短路 \(\to\) 网络流……
前面的路云落已经帮诸位淌过一遍了，直接进入正题
二三问都是“最多”，并且似乎没有显然的容斥，考虑最大流
比较 naive 的是中间的结点构造，自然是一个 \(i\) 对应一个结点。然后就寄了，因为有一个非常恶心的约束，叫做每种元素至多选一次，但这个技巧也比较常见——拆点！
（浅浅吐槽一句，似乎除了特别水的网络流，云落还没有见过什么网络流的题目不需要拆点的……）
把一个 \(i\) 劈成两半，两个点之间建立一条容量为 \(1\) 的边
然后就是源点汇点的连边技巧——我们要求的是最大流，也就是说一定在题目中会出现一些东东作为限制最大流出现的约束。这显然是最长不降子序列的限制
那么，当结点表示 \(i\) 的时候，我们考查一条增广路的实际含义，表示一条合法的最长不降子序列
自然地，源点发射出去的边应当指向子序列的起始位置，而指向汇点的结点应当为子序列的末尾位置。网络构建很显然咯，对于所有的 \(f_i==1\)，源点向（拆点后的）左点连一条容量为 \(1\) 的边；同理，（拆点后的）有点向汇点连一条容量为 \(1\) 的边
那么中间的部分也就呼之欲出了，对于每一个 \(j < i\)，如果有 \(a_j \le a_i\)，那么就右点 \(j\) 指向左点 \(i\)
T5 【模板】最小费用最大流（P3381）
板，随便把 BFS 改成 SPFA 即可
T6 志愿者招募（P3980）
真的就差一点点就上线性规划了……这个题目出的是真的花
说实话这个题目要不是样例强云落都不知道自己想假了……
还是直接上网络流，不考虑那么多（赛场上还是先考虑 DP 什么一些比较正经的做法比较好）
比较大众化的错误就是，源点连志愿者，然后志愿者连其控制的时间区间，最后时间连汇点，然后跑费用流
但这么做会寄，因为志愿者不是想什么时候停就什么时候停的，而是一旦选择这个志愿者，他会兢兢业业地完成他所控制的时间区间内的所有任务……
按照上述的假做法，会得到 \(0pts\) 以及样例不过的优秀成绩，可喜可贺！
所以，我们需要重新去思考这个问题
正难则反，其实也不是完全反过来——当不好从志愿者的角度切入时，不妨考虑从时间线的角度切入
然后其实就做完了，网络构造的方式如下：
源点指向第一天，容量 \(+ \infty\)，费用为 \(0\)
最后一天指向汇点，容量 \(+ \infty\)，费用为 \(0\)
中间的部分时间线 \(i\) 向 \(i+1\) 连边，容量 \(+ \infty - a_i\)，费用 \(0\)
这很好理解，我们需要一些带权边（志愿者）补齐 \(+ \infty\)
然后就是 build(l,r+1,inf,c)，表示一个志愿者
这道题目的难点在于志愿者向时间线的转化，剩下的构建网络的部分并不难搞
T7 交换棋子（P3159）
又是一道长的不像网络流的网络流……
题意小转化：棋子交换可以视为黑子在棋盘上的移动
直接朴素做费用流会寄，原因是这样的。我们考查一个黑子的完整移动路径，起止点的流量消耗都是 \(1\)，而路径上的点流量消耗都是 \(2\)，显然直接做假完了——
所以，考虑拆点
干脆就拆的彻底一点，直接一变三，左点表示交换进来，中点是原有的点，右点表示交换出去，然后剩下的就比较显然了，建图跑最大流即可
还是简述一下建图的形式吧！
-
源点指向初始点中点，容量 \(1\) 费用 \(0\)
-
结束点中点指向汇点，容量 \(1\) 费用 \(0\)
-
如果某结点初末状态相同，\(l \to mid\) 容量 \(\frac{lim}{2}\)，费用 \(0\)，\(mid \to r\) 容量 \(\frac{lim}{2}\) 费用 \(0\)
-
初状态黑点，末状态白点（需要将黑子交换出去），\(l \to mid\) 容量 \(\frac{lim}{2}\)，费用 \(0\)，\(mid \to r\) 容量 \(\frac{lim+1}{2}\) 费用 \(0\)
-
初状态白点，末状态黑点（需要将黑子交换进来），\(l \to mid\) 容量 \(\frac{lim+1}{2}\)，费用 \(0\)，\(mid \to r\) 容量 \(\frac{lim}{2}\) 费用 \(0\)、
-
对于每个结点，向其八连通范围内所有结点连边，容量 \(+ \infty\) 费用 \(1\)。需要注意的是，这条边的起点是结点的右点，中点是八连通结点的左点
然后直接跑费用流即可
T8 航班安排（P4452）
求最大收益，要求尽可能多的接订单（题干没写……），考虑费用流，具体地，是考虑最大费用最大流
订单显然是网络流里的结点，注意到订单只能被接受一次，所以考虑拆点，并连带而来的就是建边，容量 \(1\)，费用 \(c_i\)（代码实现中应该写成 \(-c\)，因为要求最大费用，所以取相反数）
然后就是源点向左点连边，右点向汇点连边，容量都是 \(1\)（一架飞机）。源点发射出去的边的费用是 \(-f_{1,i}\)（而在代码实现中应该写成 \(f_{1,i}\)，原因同上），汇点接受的边费用是 \(-f_{i,1}\)（代码中取反，原因同上）
Warning：题目中说基地机场编号为 \(0\)，但云落不是很习惯，所以整体偏移了一下下……
剩下的就是暴力枚举订单，如果能在订单 \(i\) 之后衔接订单 \(j\)（反之亦然），直接连边，容量 \(1\)，费用 \(-f\)（代码取反，理由同上）
剩下的就是费用流
T9 小凸玩矩阵（P4251）
第 \(k\) 大，二分答案是显然的
转成二分图，左行右列，对于二分出的 \(mid\)，如果 \(a_{i,j} \le mid\) 就连边，跑二分图匹配
当然，最大流也能解决这个问题
最简单的一集
后记
完结撒花！
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