动态规划——0/1背包问题

为了更好地介绍动态规划的思想，在这里我以0/1背包问题为例，具体的为大家解释动态规划求解问题的步骤。

一、0/1背包问题

给定n个重量为w1​，w2​,w3​,…,wn​，价值为p1,p2​,p3​,…,pn​的物品和容量为capacity的背包，求这个物品中一个最有价值的子集，使得在满足背包的容量的前提下，包内的总价值最大

0-1背包问题指的是每个物品只能使用一次.

在这里我们可以定义B（i, j），表示考虑从第一件到底 i 件物品，在背包承重为 j 的条件下能拿到的最大价值。

我们将capacity = 8，n=4，即共4件物品，其重量与价值如下表：

 

 

 最终的为题即是求解B（4, 8）。

思路

通过简单的B（i, j）如B（0,0），B（0,1）来计算更复杂的B（i, j），直到计算出B（4, 8）。

在这里我们可以得出一个递推公式：

 

 

在这里用一个二维数组来保存B（i, j）：

 

 那么我们在这里就可以用一个二维数组来实现上图的表格：

w = [0,2,3,4,5] # 物品重量
p = [0,1,2,5,6] # 物品价值
n_item = len(w)-1 # 物品个数
capacity = 8 # 背包可承受的重量

table = [[0 for column in range(capacity+1)] for row in range(n_item+1)]# 遍历二维数组
for i in range(1,n_item+1):
    for j in range(1,capacity+1):
        if j < w[i]:
            table[i][j] = table[i-1][j]
        else:
            table[i][j] = max(table[i-1][j],table[i-1][j-w[i]]+p[i])

for i in table:
    print(i)

 

可以得到结果如下：