BZOJ 4417 Luogu P3990 [SHOI2013]超级跳马 (DP、矩阵乘法)

题目链接: (bzoj) https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=4417

(luogu)https://www.luogu.org/problemnew/show/P3990

题解: 一看就是矩乘优化dp.

每次跳奇数列？那么我们可以将列两两分组，以两列为一组作为矩阵要记录的状态。一个元素位于组内第一列说明它不可能再跳到这一组的第二列(为了避免算重)。转移矩阵的构造见代码。

那么我们用矩阵来表示转移方程: 设向量\(F[i]\)表示状态，\(A\)表示转移矩阵，\(F[i]=\sum^{i-1}_{j=1}F[j]\times A\)
作差分，\(F[i]-F[i-1]=F[i-1]\times A\), \(F[i]=F[i-1]\times (A+I)\)
注意这个递推式成立的条件是\(i\ge 3\), 即必须预处理出\(F[2]\)的值而不可以通过\(F[1]\)得出(想一想，为什么)。

代码

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cassert>
#include<iostream>
#define llong long long
using namespace std;

inline int read()
{
	int x=0; bool f=1; char c=getchar();
	for(;!isdigit(c);c=getchar()) if(c=='-') f=0;
	for(; isdigit(c);c=getchar()) x=(x<<3)+(x<<1)+(c^'0');
	if(f) return x;
	return -x;
}

const int P = 30011;
const int N = 50;
struct Matrix
{
	int n;
	llong a[(N<<1)+3][(N<<1)+3];
	void output() {for(int i=1; i<=n; i++) {for(int j=1; j<=n; j++) printf("%lld ",a[i][j]); puts("");}}
	void clear(int _n) {n = _n; for(int i=1; i<=n; i++) for(int j=1; j<=n; j++) a[i][j] = 0ll;}
	void unitize() {for(int i=1; i<=n; i++) a[i][i] = 1ll;}
	Matrix operator *(const Matrix &arg) const
	{
		Matrix ret; ret.clear(n);
		for(int i=1; i<=n; i++)
		{
			for(int j=1; j<=n; j++)
			{
				for(int k=1; k<=n; k++)
				{
					ret.a[i][k] = (ret.a[i][k]+a[i][j]*arg.a[j][k])%P;
				}
			}
		}
		return ret;
	}
} trans,cur,ans;
int n;
llong m;

void mquickpow(llong y)
{
	cur = trans;
	for(int i=0; y; i++)
	{
		if(y&(1ll<<i)) {y-=(1ll<<i); ans = ans*cur;}
		cur = cur*cur;
	}
}

int main()
{
	scanf("%d%lld",&n,&m);
	trans.clear(n<<1); cur.clear(n<<1); ans.clear(n<<1);
	for(int i=1; i<=n; i++)
	{
		for(int j=1; j<=n; j++)
		{
			if(j>=i-1 && j<=i+1)
			{
				trans.a[i][j+n]++;
				trans.a[i+n][j]++;
			}
		}
	}
	for(int i=1; i<=n+n; i++)
	{
		for(int j=1; j<=n; j++)
		{
			for(int k=1; k<=n; k++)
			{
				if(k>=j-1 && k<=j+1)
				{
					trans.a[i][k+n] += trans.a[i][j];
				}
			}
		}
	}
	ans = trans;
	for(int i=1; i<=n+n; i++) trans.a[i][i]++;
	mquickpow((m-3)>>1);
	if(m&1) printf("%lld\n",(ans.a[1][n]+ans.a[n+1][n]+ans.a[n+2][n])%P);
	else printf("%lld\n",(ans.a[1][n+n]+ans.a[n+1][n+n]+ans.a[n+2][n+n])%P);
	return 0;
}