扩展欧几里得算法（ExGCD）

瞎扯

ExGCD用于求解不定方程

\[ax + by = c \]

的一组特解。常用于求解同余方程，比如求模非质数意义下的逆元。

推导

主体

首先，不定方程有解的充分必要条件由裴蜀定理给出

\[\gcd(a,b) | c \]

于是，我们只需关注

\[ax + by = \gcd(a,b) \]

的解。（原方程的解只需分别对\(x\)，\(y\)乘上\(\frac{c}{gcd(a,b)}\)即可求出）

（下文中%代指取模操作）

考虑递归的求解。假设我们已经知道了不定方程

\[b x + (a \% b) y = \gcd(b, a\% b) \]

的解\(x_1\)，\(y_1\)，即

\[b x_1 + (a \% b) y_1 = \gcd(b, a\% b) \]

现在尝试利用此式构造出原方程的解\(x\)，\(y\)。

由 \(\gcd(a,b) = \gcd(b,a\%b)\) 以及 \(a \% b = a- \lfloor \frac{a}{b} \rfloor b\)

原式化为

\[b x_1 + (a- \lfloor \frac{a}{b} \rfloor b) y_1 = \gcd(a,b) \]

拆开括号

\[b x_1 + a y_1 - \lfloor \frac a b \rfloor b y_1 = \gcd(a,b) \]

我们的目标是构造出系数为\(a\)，\(b\)的原方程，故整理得

\[a y_1 + b(x_1 - \lfloor \frac a b \rfloor y_1) = \gcd(a,b) \]

成功构造。故

\[\begin{aligned} x &= y_1 \\ y &= x_1 - \lfloor \frac a b \rfloor y_1 \end{aligned} \]

该递归的边界条件同欧几里得算法，当\(b=0\)时，方程为

\[a x = \gcd(a,0) = a \]

\(x=1\)，\(y = 0\)即该方程的一组特解。

构造最小\(x\)的特解

Exgcd常用于逆元求解。这时需要找到一组解，使得\(x\)最小（正整数范围内）。可以这样构造。

我们知道，不定方程的通解形式为

\[\left\{ \begin{aligned} x &= x_0 + kt\\ y &= y_0 - ku \end{aligned} \right. \]

其中，\(t=b/ \gcd(a,b), u=a/ \gcd(a,b)\)

upd：友情提示一下大家通常了解到的通解形式里面的\(t=b, u=a\)，但是实际上该通解形式仅在\(\gcd(a,b)=1\)时正确（不过如果你没有意识到这一点也没啥问题，因为仍然能求出MOD内的逆元，，，）

所以，以\(x\)为例，最小的正整数\(x= (x_0 \% t +t) \% t\)，然后将其带入不定方程解出\(y=\frac {c-a*x} {b}\)即可。

Code

namespace ExGcd{
	ll x,y;
	ll ExGcd(ll a,ll b){
		ll ans;
		if(b==0){
			x=1;y=0;ans=a;
		}else{
			ans=ExGcd(b,a%b);
			ll x1=x,y1=y;
			x=y1;y=x1-a/b*y1;
		}
		return ans;
	}
	bool SolveEqu(ll a,ll b,ll c){
		ll d=ExGcd(a,b);
		if(c%d!=0) return 0;
		x*=c/d;y*=c/d;
		//Minimize x
		ll t=b/d;
		x=(x%t+t)%t;
		y=(c-a*x)/b;
		return 1;
	}
}
//以下为求逆元
ll Inv(ll a,ll m){
	ExGcd::SolveEqu(a,m,1);
	return ExGcd::x;
}

板题：洛谷P1082 同余方程，随便改改上面的程序即可。

2019/12/21