狄利克雷卷积

前置知识：狄利克雷卷积

1.定义

对于两个积性函数 f(x) , g(x) ，我们有如下定义：(f\ast g)(x)=\sum_{d|x}f(d)g(\frac{x}{d})\\

然后再定义：I(x)=1\quad id(x)=x\quad \varepsilon(x)=[x==1]

2.性质

(1). \mu \ast I = \varepsilon

(2). \phi\ast I=id

(3).\mu \ast id = \phi

 

本篇重点：杜教筛

1.作用

求积性函数的前缀和，通过推导前缀和的递推关系

2.推导递推关系

对于上述两积性函数 f(x),g(x) 定义：S(n)=\sum\limits_{i=1}^nf(i)

则有：

$$
\begin{align} \sum\limits_{i=1}^{n}(f\ast g)(i)&=\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{d|i}f(d)g(\frac{i}{d})\\_{} &=\sum\limits_{d=1}^{n}g(d)\sum\limits_{i=1}^{\lfloor \frac{n}{d}\rfloor}f(i)\\ &=\sum\limits_{d=1}^{n}g(d)S(\lfloor\frac{n}{d}\rfloor) \end{align}
$$

然后就可以得出：

$$
g(1)S(n)+\sum\limits_{d=2}^{n}g(d)S(\lfloor\frac{n}{d}\rfloor)=\sum\limits_{i=1}^{n}(f\ast g)(i)\\ g(1)S(n)=\sum\limits_{i=1}^{n}(f\ast g)(i)-\sum\limits_{d=2}^{n}g(d)S(\lfloor\frac{n}{d}\rfloor)
$$

应用

1.\mu的前缀和

\because\mu\ast I=\varepsilon

\therefore 令 f=\mu , g=I , 则 S(n)=\sum\limits_{i=1}^{n}\varepsilon(i)-\sum\limits_{i=2}^{n}S(\frac{n}{i})

\therefore S(n)=1-\sum\limits_{i=2}^{n}S(\frac{n}{i})

我们可以先预处理出五万以内的 \mu ，再用前缀和关系，构造递推函数处理

 

2. \phi 的前缀和

\because \phi\ast I=id

\therefore 同上，S(n)=\frac{n(n+1)}{2}-\sum\limits_{i=2}^{n}S(\frac{n}{i})

仍然是预处理加递推

 

3. \phi \cdot i 的前缀和

令f=\phi\cdot id,g=id

\therefore (f\ast g)(n)=\sum\limits_{d|n}\phi(d)\cdot id(d)\cdot id(\frac{n}{d})=\sum\limits_{d|n}\phi(d)\cdot n=n^2

\therefore S(n)=\sum\limits _{i=1}^{n}i^2 - \sum\limits_{i=2}^{n} i\cdot S(\frac{n}{i})