第一章 实数

【需要解决的问题】
补充无限循环小数可以表示为分数，因此，为有理数

【有理数】
如果一个数字可以表示为两个整数的商，则称这个数为有理数
\(例如：0.3=\frac{3}{10},为有理数\)
\(而\sqrt{2}无法表示为两个整数的商\)

【数域】
有理数经过加减乘除四则运算的结果，依然是有理数，因此，称为全体有理数，组成一个数域

【符号定义】
\(Z为整数，N为自然数，N^+为正整数，Q为有理数，R为实数，R\Q为无理数\)

【数轴上任何一点，都可以用有理数无限靠近】
\(对于有理数\frac{p}{q},q为正整数，固定q，让p取变全体整数，那么\frac{p}{q}把数轴分成长度为\frac{1}{q}的区间\)
任何一个数轴上的数字必然位于这些区间中的一个，即，对任何数字，能找到p
\(有\frac{p}{q}\leq x<\frac{p+1}{q}\)
\(例如，\frac{37}{7}<5.3<\frac{38}{7}\),
\(可得 0<5.3-\frac{37}{7}<\frac{1}{7}\)
\(可得 |5.3-\frac{37}{7}|<\frac{1}{7}\)
\(如果把上面的\frac{1}{7}换成\frac{1}{100000}\)
\(同样可以找到某个数字\frac{M}{10}\)
\(有|5.3-\frac{M}{10}|<\frac{1}{100000}\)
可见，数轴上任何数字，都可以用有理数无限逼近到任意精确的程度

\(总结：对固定的正整数q，从原点O开始，以\frac{1}{q}为单位，对原点两侧的整个数轴进行划分成无穷多个长度为\fracP\frac{1}{q}的区间，\)
\(则数轴上任意一个点代表的数字，或者跟划分的间隔点重合，或者位于两个间隔点之间的某个区间\)
\(即,对任意实数，存在整数p，有\)
\(\frac{p}{q}\leq<x<\frac{p+1}{q}\)
\(可得\quad 0\leq x-\frac{p}{q}<\frac{1}{q}\)
\(可得\quad |x-\frac{p}{q}|<\frac{1}{q}\)
\(当q任意大的时候，\frac{1}{q}可以任意小，故，任何数轴上的实数都可以用有理数无限逼近到任意精度\)
【稠密】
设E是一个实数组成的集合，即实数组成的数集，如果在任意两个实数之间，都至少有一个E中数字，则称E为稠密的。
前面的讨论说明有理数集Q，在实数R中是稠密的。

\(例1\quad 求证：若n\in N^+,且n不是完全平方数，则 \sqrt{n}是无理数\)

证明：用反证法
\(假设\sqrt{n}=\frac{p}{q},p,q \in N^+\)
\(则有\quad n=\frac{p^2}{q^2}，可得\quad p^2=nq^2 \qquad ①\)
\(因为n不是完全平方数，故存在m \in N^+,有m<\sqrt{n}<m+1\)
\(即\quad m<\frac{p}{q}<m+1\)
\(可得\quad mq<p<mq+q\)
\(可得\quad 0<p-mq<q\quad②\)
\(①式两边都减去mpq,得到\)
\(p^2-mpq=nq^2-mpq\)
\(可得\quad p(p-mq)=q(nq-mp)\quad③\)
\(可得\quad \frac{p}{q}=\frac{nq-mp}{p-mq}\)
\(设p_{1}=nq-mp,q_{1}=p-mq，\)
\(则③式变为:\quad\quad\frac{p}{q}=\frac{p_{1}}{q_{1}}④\)
\(由②式得:q_{1}<q\)
\(由④式，p=\frac{p_{1}}{q_{1}}q<\frac{p_{1}}{q}q=p_{1}\)
\(即，p<p_{1},q<q_{1}\)
\(由④式，\sqrt{n}=\frac{p}{q}=\frac{p_{1}}{q_{1}}\)
\(可得\quad \sqrt{n}=\frac{p_{1}}{q_{1}}\)
\(重复以上步骤可得\sqrt{n}=\frac{p}{q}=\frac{p_{1}}{q_{1}}=\frac{p_{2}}{q_{2}}=\frac{p_{3}}{q_{3}}=...\)
\(可以无限进行下去，且q>q_{1}>q_{2}>q_{3}...,p>p_{p1}>p_{2}>p_{3}...\)
\(但是p,q是有限的，不可能无限递减，矛盾\)
\(证毕\)