闭区间上的连续函数，一定是一致连续的证明,中科大列紧性证明版

有两种方法，常见的证明方法是有限覆盖定理。
这里是参考中科大数分教材的证明方法，做了修改。
中科大是反证法利用构造子列的列紧性定理
\(\\\)
【中科大反证法】课本106页
定理：设f(x)在[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上一致连续。
证明：用反证法。
\(假设f(x)不一致连续，那么\exists\epsilon,\forall n\in N^+\)
\(\exists 两个点S_{n},t_{n} \in [a,b],有|S_{n}-t_{n}|<\frac{1}{n},\)
\(且|f(S_{n})-f(t_{n})|>\epsilon\quad\quad\quad(1)\)
\(\because \{S_{n}\in [a,b] \}\)
\(\therefore 由列紧性定理，任何有界数列，存在一个收敛子列{S_{k_{n}}}\)
\(有\quad S_{k_{n}}->S^*\in [a,b]\)
\(可得：|t_{k_{n}}-s^*|\leqslant|t_{k_{n}}-S_{k_{n}}|+|S_{k_{n}}-S^*|\)
\(\quad\quad\quad<\frac{1}{k_{n}}+|S_{k_{n}}-S^*|<\frac{1}{n}+|S_{k_{n}}-S^*|\)
\(由数列极限的夹逼定理，得到\)
\(0\leqslant lim_{n \to \infty}|t_{k_{n}}-s^*|\leqslant \lim_{n \to \infty}\frac{1}{n}+|S_{k_{n}}-S^*|=0\)
\(可知 lim_{n\to\infty}t_{k_{n}}=0\)
\(即：t_{k_{n}}跟S_{k_{n}}有相同极限S^*\)
\(由(1)式，可知，\forall n\in N^+,有|f(S_{k_{n}})-f(t_{k_{n}})|\geqslant\epsilon\quad\quad\quad(2)\)
\(由函数的连续性，可得：lim_{n\to\infty}f(S_{k_{n}})=lim_{n\to\infty}f(S^*)\)
\(即S_{k_{n}}趋于S^*时，f(S_{k_{n}})趋于f(S^*),这是根据函数连续性\)
\(同理，lim_{n\to\infty}f(t_{k_{n}})=lim_{n\to\infty}f(S^*)\)
\(对(2)式两侧取极限，左侧为lim_{n\to\infty}|f(S_{k_{n}})-f(t_{k_{n}})|=|lim_{n\to\infty}f(S_{k_{n}})-lim_{n\to\infty}f(t_{k_{n}})|-----极限符号和绝对值的互换前提是各项极限存在，可以自己手工证明，\\\)
\(分大于等于零和小于零的情况，极限和绝对值顺序交换的结果是一致的\)
\(\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad=|lim_{n\to\infty}f(S^*)-lim_{n\to\infty}f(S^*)|=0\)
\(右侧为>\epsilon\),矛盾
证毕
\(\\\)
\(说明：如果题设条件是开区间(a,b)，则S_{k_{n}}与t_{k_{n}}的极限S^*不一定在此区间内，\)
\(如果在区间以外，则该极限点，没有函数定义f(S^*),例如f(x)=\frac{1}{x},如果极限点是0，f(x)在x点没有定义\)