拉格朗日中值定理的辅助函数的构造原理

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英语单词: lagrange mean value theorem
auxiliary function
construction of the auxiliary function

有多种构造方法, 辅助函数不止一个
一，几何方法,多种

思路:设构造出的辅助函数为F，必须有F(a)=F(b)，才能应用罗尔中值定理
(注意，是F(a)=F(b),而非F(a)=F(b)=0,不需要等于0)
\(方法1：让F(x)曲线的弦下移，跟x轴重合，即可保证F(a)=F(b)，且F(a)=F(b)=0\)
\(方法2：只需f(x)的左侧端点a点不动，右侧的端点下移到跟左侧端点a点相同高度即可保证F(a)=F(b),但是F(a)=F(b)\neq0\)
\(方法3：让左侧端点上升到跟右侧端点相同水平高度即可保证F(a)=F(b),但是F(a)=F(b)\neq0\)

拉格朗日的做法，是方法1.

方法1
\(让f(x)在[a,b]区间内的所有点下移，下移直线弦AB，并使之跟x轴重合，即F(a)=F(b)=0。\\\)
\(这个下移的距离是一个跟x有关的函数，这个函数\\\)
\(就是弦AB的直线段的函数：g(x)=kx+b\\\)
\(由:f(a)=ka+b,f(b)=kb+b,\\\)
\(解得，k=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\\\)
\(\quad\quad b=f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}a\\\)
\(弦方程为：y=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}x+f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}a\\\)
\(合并同类项：y=f(a)+\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)\\\)
\(让F(x)减去弦的高度，即上式的弦方程，即可做到f(x)曲线的右端点B，落在x轴上\\\)
\(即：F(x)=f(x)-f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)\)
\(上式与拉格朗日中值定理的辅助函数，完全一致\\\)
\(\\\)
方法2
\(右端点B下降的高度，相当于方法1的结果+a点高度f(a)即可\\\)
\(即F(x)=f(x)-f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)+f(a)\\\)
\(即F(x)=f(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)\\\)
\(满足:F(a)=f(a),F(b)=f(a)\\\)
\(即，满足:F(a)=F(b)\\\)
\(\\\)
方法3
\(方法3:如果是上移左端点A，只需方法1的结果+右端点高度f(b)即可\\\)
\(即F(x)=f(x)-f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)+f(b)\\\)
\(满足:F(a)=f(b),F(b)=f(b)\\\)
\(即，满足:F(a)=F(b)=f(b)\\\)

其他方法
\(用从原点O出发的，跟弦AB平行的直线，上移左端点或者下移右端点，方法类似上面\\\)
\(得到F(x)=f(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}x\)
\(\\\)
\(\\\)
\(【注意】有网友认为是曲线先下落，然后以(a,0)点为轴，旋转曲线右端点到x轴，这是错误的。\\\)
\(因为旋转是弧形旋转，弦AB长度不变，实际是长度缩短了，因为是投影下来的，曲线两端点的距离不变\)

待定系数法
\(设F(x)=f(x)+\lambda x\\\)
\(则有F(a)=f(a)+\lambda a=F(b)=f(b)+\lambda b\\\)
\(可得:\lambda=-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\\\)
\(则\quad F(x)=f(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}x\\\)
\(与前面的“其他方法”结果一致\\\)

闭区间套法



\(\\\)
定积分法

\(\\\)
不定积分法


\(\\\\\)
旋转坐标系法(如果旋转f(x)，类似)



\(\\\\\)
参考文献
广西柳州职业技术学院余惠霖的文章
https://wenku.baidu.com/view/403bd330ff00bed5b8f31d0f.html


天水师范学院常正军的毕业论文
https://www.docin.com/p-694641420.html