阿基米德性的内容和证明

名称：    阿基米德性

各 来源：华东师范大学，数学分析，上册，第三版，附录2 ，290页

                          F中元素满足阿基米德性，对任意两个正元素a, b , 必存在自然数n, 使得 na > b

定理内容：    对于任何实数x，存在自然数n有n>x

来源：百度

 分析  

对任何a,b 两个正数，存在自然数n， 使得 na > b

推论1.1：设 a = 1，即变为：存在自然数 N，对任何正数 b 有N > b , 即，不存在最大实数；

推论1.2:  对任何正有理数，都有一个正有理数小于该数；

推论2 ：对任何a，b，k大于0, 存在N，有a + Nk > b

推论3：对于任何有理数r，总存在比它大的正整数n，即 n> r

推论4：对于任何有理数r，总存在比它小的数q，即 q < r 

 

阿基米德性在实数范围内的证明 

 说明： 1 利用确界定理，前提是确界定理在实数中成立。 注：确界定理在有理数范围内不成立，例如，集合 A：{x 属于 Q有理数 | x <根号2}在有理数范围内，没有                     上确界，因为可以无限靠近根号2。

             2  使得确界原理成立的有序域，称为有完备性的有序域。有理数域是不完备的。----------华东师范大学 数学分析 第三版 p290

             3 华东师范大学 附录2 p290有证明

证：用反证法。

    设 a, b 为正元素，集合 A = { na, n为任意自然数 } 

    若对于任意n，都有 na < b, 说明集合A有上界，b就是上界中的一个元素，即 b 是集合A的一个上界

    由确界原理可知，A有上确界，记为  supA ， 则 对任何 na，具有 na < supA

   且存在一个N，有Na ， 有Na > supA - a 

可推得  Na > supA -a 

->        Na + a > supA

->        (N + 1) a > supA 

而（N + 1)属于A，（N+1）a 应该小于 supA

故，矛盾

 推论1.1 的证明：将阿基米德性定理中的 a 取1，则得到 存在 n, 有 na > b, 而a = 1，于是有 n > b

 

推论1.2的证明： 设 r 为任意有理数，则根据有理数的定义 r可以表示为 m/n， 于是r 的倒数 1/r 为 n/m

也是有理数，于是根据阿基米德性， 存在n，有 n > 1/r, 取倒数, 有1/n < r 

这个1/n是有理数，所以1/n 就是小于r的有理数。

分析，推论1.1和推论1.2 相当于没有最大正有理数，也没有最小正有理数

 另，阿基米德性在实数域内成立，可知 实数没有最大正实数和最新正实数

推论 2 的证明  ：对任何a，b，k大于0, 存在N，有a + Nk > b

若 a > b, 则 b - a < 0

       而 k > 0

       故有 k > b-a 

       上式两边+a，有 a + k > b, 此时结论成立，N=1

若b-a >0, 则由阿基米德性，存在 N，有

           Nk > b-a 

      上式两侧 + a, 可得

        a + Nk > b

       结论成立

   证毕

 

欧几里得性的解释：
任意给定两个正实数a、b，必存在正整数n，使na>b。
几何描述：在长短不同的两条线段中，无论较长的线段怎样长，较短的线段怎样短，总可以在较长的线段上连续截取较短的线段，并且截到某一次以后，必出现下面两种情况：
1：没有剩余；
2：得到一条短于较短线段的剩余线段。

这就是“阿基米德公理”有时也叫阿基米德-欧多克斯公理，因为阿基米德把这个命题归功于欧多克斯。其实，比欧多克斯更早些，我国古代《墨经》上已记载着“穷，或有前不容尺也”，指的正是这个意思。

我自己的理解，给定长度，就可以用固定长度的尺子度量其全部长度。