最大子数组和问题

问题定义：

    求数组A中一个连续的和最大的子数组。比如数组[4，5，-6，7，-3，1]的最大子数组是[4，5，-6，7]，和为10。

 

解法一：分治法

    可以把问题转化成求两个子数组的最大子数组问题。令mid为数组A[low, high]的中间位置，则A[low, high]的最大子数组所处的位置存在如下三种情况：

1、完全位于A[low, mid]之中

2、完全位于A[mid+1, high]之中

3、横跨中点mid

对于1、2两种情况相当于将问题的规模缩小为原来的一半，因此只需要递归求解即可。第3种情况需要单独考虑。

首先可知横跨中点mid的子数组中一定包含元素A[mid]，则我们可以将第3种情况一分为二，任何横跨中点的子数组都由两个子数组A[i,..,mid]和A[mid+1,..,j]组成，所以我们可以以中点mid为界，向两边寻找两个最大子数组A[i,..,mid]和A[mid+1,..,j]，然后再将其合并即可。寻找横跨中点的最大子数组代码如下：

public int[] findCrossMaxSubArray(int[] A, int low, int mid, int high) {
    int curSum, leftSum, rightSum;
    curSum = leftSum = rightSum = 0;
    int i,j, begin = 0, end = 0;
    for (i = mid; i >= low; i--) {
        curSum += A[i];
        if (curSum > leftSum) {
            leftSum = curSum;
            begin = i;
        }
    }
    for (j = mid + 1, curSum = 0; j <= high; j++) {
        curSum += A[j];
        if (curSum > rightSum) {
            rightSum = curSum;
            end = j;
        }
    }
    return new int[]{begin, end, leftSum+rightSum};
}

 下标i标识的是子数组的起始位置，j标识的是终止位置，leftSum和rightSum分别存储两个子数组中的最大的和。

    解决了以上问题，那么求数组A[low, high]的最大子数组就迎刃而解了，代码如下：

public static int[] findMaxSubArray(int[] A, int low, int high) {
    // base case:只有一个元素
    if (low == high) {
        return new int[] {low, high, A[low]};
    } else {
        int mid = (low + high) >>> 1;
        // 分别求出A[low, mid], A[mid+1, high], 以及横跨中点
        // 的三个最大子数组。
        int[] left = findMaxSubArray(A, low, mid);
        int[] right = findMaxSubArray(A, mid+1, high);
        int[] cross = findCrossMaxSubArray(A, low, mid, high);
        // 返回三者中和最大的一个
        int leftSum = left[2], rightSum = right[2], crossSum = cross[2];
        if (leftSum >= rightSum && leftSum >= crossSum) {
            return left;
        } else if (rightSum >= leftSum && rightSum >= crossSum) {
            return right;
        } else {
            return cross;
        }
        
    }
}