【CF1481F】AB Tree

题目

题目链接：https://codeforces.com/contest/1481/problem/F
给定一棵 \(n\) 个节点的树，根为 \(1\) ，每个节点会分配到一个字符 a 或 b。
要求整棵树中字符 a 的数量为 \(x\) ，字符 b 的数量为 \(n-x\) 。
定义节点 \(v\) 上的字符串：

• 若 \(v\) 是根节点，则 \(v\) 的上的字符串为根节点分配到的字符。
• 否则，\(v\) 上的字符串为父节点上的字符串的末尾加上 \(v\) 分配到的字符。

请为每个节点分配字符，在满足字符 a ，b 数量要求的前提下，使得所有节点上的字符串的种类最少。

\(n\leq 10^5\)。

思路

神仙题。
答案的下界显然是树的高度。可以证明上界是树高 \(+1\)。
假设我们已经填完了 \(1\sim i-1\) 层的所有节点。考虑第 \(i\) 层的节点。设这一层有 \(k\) 个非叶子节点，深度不小于 \(i\) 的有 \(s\) 个节点，那么显然 \(k\leq \frac{s}{2}\)。
若此时有 \(cnta\) 个 a 未使用，\(cntb\) 个 b 未使用，那么必然有 \(\max(cnta,cntb)\geq \frac{s}{2}\geq k\)。所以这一层的非叶子节点都可以用同一种颜色。
再考虑这一层的叶子节点。假设这一层非叶子节点使用的是 a，如果剩余 a 的数量不小于这一层叶子的数量，那么叶子也填上 a，考虑下一层；如果剩余 a 的数量小于这一层叶子数量，那么直接把 a 用完，那么剩余所有点都用 b 填上。因为只有这一层的叶子是与非叶子不同的，所以不同的字符串数量恰好是树高 \(+1\)。
那么只需要判断答案是否能为树高即可。
如果答案恰好是树高，当且仅当存在某些层，节点的数量之和恰好为 \(x\)。因为每层节点数量的集合大小是 \(O(\sqrt{n})\) 的，直接跑二进制分组完全背包判断是否有解就行了。
输出方案的话，如果答案为树高就背包记录路径；否则就按照上述方法构造。
时间复杂度 \(O(n\sqrt{n})\)。

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N=100010,M=700;
int n,m,W,tot,maxd,ans[N],head[N],dep[N],cnt[N],w[N],v[N];
bool f[M][N];
vector<int> pos[N];

struct edge
{
	int next,to;
}e[N];

void add(int from,int to)
{
	e[++tot]=(edge){head[from],to};
	head[from]=tot;
}

void dfs(int x,int fa)
{
	dep[x]=dep[fa]+1; maxd=max(maxd,dep[x]);
	pos[dep[x]].push_back(x);
	for (int i=head[x];~i;i=e[i].next)
		dfs(e[i].to,x);
}

int main()
{
	memset(head,-1,sizeof(head));
	scanf("%d%d",&n,&W);
	for (int i=2,x;i<=n;i++)
	{
		scanf("%d",&x);
		add(x,i);
	}
	dfs(1,0);
	for (int i=1;i<=maxd;i++)
		cnt[pos[i].size()]++;
	for (int i=1;i<=n;i++)
	{
		for (int j=0;j<=18;j++)
			if (cnt[i]>=(1<<j))
				m++,w[m]=(i<<j),v[m]=i,cnt[i]-=(1<<j);
		if (cnt[i])
			m++,w[m]=i*cnt[i],v[m]=i;
	}
	f[0][0]=1;
	for (int j=1;j<=m;j++)
		for (int i=0;i<=W;i++)
		{
			f[j][i]=f[j-1][i];
			if (i>=w[j]) f[j][i]|=f[j-1][i-w[j]];
		}
	if (f[m][W])
	{
		cout<<maxd<<"\n";
		memset(cnt,0,sizeof(cnt));
		for (int j=m,i=W;j;j--)
			if (i>=w[j] && f[j-1][i-w[j]])
				i-=w[j],cnt[v[j]]+=(w[j]/v[j]);
		for (int i=1;i<=maxd;i++)
			if (cnt[pos[i].size()])
			{
				cnt[pos[i].size()]--;
				for (int j=0;j<(int)pos[i].size();j++)
					ans[pos[i][j]]=1;
			}
	}
	else
	{
		cout<<maxd+1<<"\n";
		int cnta=W,cntb=n-W,res=1;
		for (int i=1;i<=maxd;i++)
		{
			if (cnta<cntb) swap(cnta,cntb),res^=1;
			for (int j=0;j<(int)pos[i].size();j++)
			{
				int x=pos[i][j];
				if (head[x]!=-1) ans[x]=res,cnta--;
			}
			for (int j=0;j<(int)pos[i].size();j++)
			{
				int x=pos[i][j];
				if (!cnta) swap(cnta,cntb),res^=1;
				if (head[x]==-1) ans[x]=res,cnta--;
			}
		}
	}
	for (int i=1;i<=n;i++)
		putchar((ans[i]^1)+'a');
	return 0;
}