【洛谷P2305】购票
题目
题目链接：https://www.luogu.com.cn/problem/P2305
今年夏天，NOI 在 SZ 市迎来了她三十周岁的生日。来自全国 \(n\) 个城市的 OIer 们都会从各地出发，到 SZ 市参加这次盛会。
全国的城市构成了一棵以 SZ 市为根的有根树，每个城市与它的父亲用道路连接。为了方便起见，我们将全国的 \(n\) 个城市用 \(1\sim n\) 的整数编号。其中 SZ 市的编号为 \(1\)。对于除 SZ 市之外的任意一个城市 \(v\)，我们给出了它在这棵树上的父亲城市 \(f_v\) 以及到父亲城市道路的长度 \(s_v\)。
从城市 \(v\) 前往 SZ 市的方法为：选择城市 \(v\) 的一个祖先 \(a\)，支付购票的费用，乘坐交通工具到达 \(a\)。再选择城市 \(a\) 的一个祖先 \(b\)，支付费用并到达 \(b\)。以此类推，直至到达 SZ 市。
对于任意一个城市 \(v\)，我们会给出一个交通工具的距离限制 \(l_v\)。对于城市 \(v\) 的祖先 A，只有当它们之间所有道路的总长度不超过 \(l_v\) 时，从城市 \(v\) 才可以通过一次购票到达城市 A，否则不能通过一次购票到达。
对于每个城市 \(v\)，我们还会给出两个非负整数 \(p_v,q_v\) 作为票价参数。若城市 \(v\) 到城市 A 所有道路的总长度为 \(d\)，那么从城市 \(v\) 到城市 A 购买的票价为 \(dp_v+q_v\)。
每个城市的 OIer 都希望自己到达 SZ 市时，用于购票的总资金最少。你的任务就是，告诉每个城市的 OIer 他们所花的最少资金是多少。
\(n\leq 2\times 10^5\)，\(0\leq p_i\leq 10^6\)。
思路
很显然有一个 dp：设 \(f[x]\) 表示到达 \(x\) 的最小代价。转移
其中 \(y\) 是 \(x\) 的祖先并且 \(dis_x-dis_y\leq l_x\)。
这个东西看上去可以斜率优化，但是因为有祖先以及距离的限制并不是很好直接搞。
先 dfs 一次求出所有点的出栈顺序，然后再 dfs 一次按照 dfs 序考虑转移。对于一个点 \(x\)，可以通过倍增求出他深度最小的且满足 \(dis_x-dis_y\leq l_x\) 的祖先 \(y\)，那么此时在出栈顺序的序列中，\(x\) 到 \(y\) 之间的所有元素，要么是 \(x\) 到 \(y\) 链上的点，要么是第二次 dfs 还没有访问过的点。那么等于需要支持区间询问当斜率为 \(k\) 时，区间内点的最小截距。
因为斜率 \(p_i\leq 10^6\)，用线段树套动态开点李超树就可以了。
时间复杂度 \(O(n\log^2 n)\)，空间复杂度 \(O(n\log n)\)。因为动态开点李超树一次修改只会增加 \(O(1)\) 个节点。
代码
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=200010,M=1000010,LG=19;
int n,tot,typ,head[N],id[N],fa[N][LG+1];
ll p[N],q[N],l[N],s[N],f[N];
struct edge
{
int next,to;
}e[N*2];
void add(int from,int to)
{
e[++tot]=(edge){head[from],to};
head[from]=tot;
}
void dfs1(int x)
{
for (int i=1;i<=LG;i++)
fa[x][i]=fa[fa[x][i-1]][i-1];
for (int i=head[x];~i;i=e[i].next)
s[e[i].to]+=s[x],dfs1(e[i].to);
id[x]=++tot;
}
int jump(int x,ll d)
{
for (int i=LG;i>=0;i--)
if (s[x]-s[fa[x][i]]<=d)
d-=s[x]-s[fa[x][i]],x=fa[x][i];
return x;
}
ll calc(int x,ll k)
{
return -s[x]*k+f[x];
}
struct SegTree2
{
int tot,lc[N<<5],rc[N<<5],res[N<<5];
int update(int x,int l,int r,int v)
{
if (!x) { res[++tot]=v; return tot; }
if (l==r)
{
if (calc(v,l)<calc(res[x],l)) res[x]=v;
return x;
}
int mid=(l+r)>>1;
if (calc(v,l)<calc(res[x],l))
{
if (calc(v,mid)<calc(res[x],mid))
rc[x]=update(rc[x],mid+1,r,res[x]),res[x]=v;
else
lc[x]=update(lc[x],l,mid,v);
}
else
{
if (calc(v,mid)<calc(res[x],mid))
lc[x]=update(lc[x],l,mid,res[x]),res[x]=v;
else
rc[x]=update(rc[x],mid+1,r,v);
}
return x;
}
ll query(int x,int l,int r,int k)
{
if (!x) return 1e18;
if (l==r) return calc(res[x],k);
int mid=(l+r)>>1;
if (k<=mid) return min(query(lc[x],l,mid,k),calc(res[x],k));
else return min(query(rc[x],mid+1,r,k),calc(res[x],k));
}
}seg2;
struct SegTree1
{
int rt[N*4];
void update(int x,int l,int r,int k,int v)
{
rt[x]=seg2.update(rt[x],0,1e6,v);
if (l==r) return;
int mid=(l+r)>>1;
if (k<=mid) update(x*2,l,mid,k,v);
else update(x*2+1,mid+1,r,k,v);
}
ll query(int x,int l,int r,int ql,int qr,ll v)
{
if (ql<=l && qr>=r) return seg2.query(rt[x],0,1e6,v);
int mid=(l+r)>>1; ll res=1e18;
if (ql<=mid) res=min(res,query(x*2,l,mid,ql,qr,v));
if (qr>mid) res=min(res,query(x*2+1,mid+1,r,ql,qr,v));
return res;
}
}seg1;
void dfs2(int x)
{
int y=jump(x,l[x]);
if (x>1)
f[x]=seg1.query(1,1,n,id[x],id[y],p[x])+s[x]*p[x]+q[x];
seg1.update(1,1,n,id[x],x);
for (int i=head[x];~i;i=e[i].next)
dfs2(e[i].to);
}
int main()
{
memset(head,-1,sizeof(head));
scanf("%d%d",&n,&typ);
for (int i=2,x;i<=n;i++)
{
scanf("%d%lld%lld%lld%lld",&x,&s[i],&p[i],&q[i],&l[i]);
add(x,i); fa[i][0]=x;
}
tot=0; s[0]=-1e18;
dfs1(1); dfs2(1);
for (int i=2;i<=n;i++)
cout<<f[i]<<"\n";
return 0;
}
