【ARC122C】Calculator

题目

题目链接：https://atcoder.jp/contests/arc122/tasks/arc122_c
有两个变量 \(x,y\)，初始时均为 \(0\)。
可以执行以下操作不超过 \(130\) 次：

1. 让 \(x\) 赋值为 \(x+1\)。
2. 让 \(y\) 赋值为 \(y+1\)。
3. 让 \(x\) 赋值为 \(x+y\)。
4. 让 \(y\) 赋值为 \(x+y\)。

给定一个数字 \(n\)，要求给出一个操作序列使得依次操作后 \(x\) 的值等于 \(n\)。
\(n\leq 10^{18}\)。

思路

我们发现操作 \(3,4\) 其实就是在计算斐波那契数列。而众所周知任意一个正整数 \(n\) 都可以被拆分为若干个不同的斐波那契数的和，所以考虑用斐波那契数的和凑出 \(n\)。
如果 \(n\) 就是斐波那契数列中的一项，那么只需要先进行一次操作 \(1\)，然后不断进行操作 \(3,4,3,4\) 即可。
如果 \(n\) 等于斐波那契数列的第 \(a_1,a_2\cdots a_k(a_1<a_2<\cdots<a_k)\) 项之和，那么我们先按照上述方法构造出一个序列使得 \(x=a_k\)，然后在倒数第 \(a_i(1\leq i<k)\) 次操作后面加入一个 \(1\) 或 \(2\)（往 \(x\) 和 \(y\) 中大的那一个上面加），那么最终的结果就是 \(a_1+a_2+\cdots+a_k=n\) 了。
例如 \(17=1+3+13\)，构造方法如下：

\[(0,0)\to (1,0)\to (1,1)\to (2,1)\to (2,3)\to (2,3+1)\to (5+1,3+1)\to (5+1,8+2)\to (13+3,8+2)\to (13+3+1,8+2) \]

注意有可能操作后是 \(y\) 为 \(n\)，此时把操作取反一下即可。
操作次数的话，斐波那契数列第 \(88\) 项超过了 \(10^{18}\)，所以操作 \(3,4\) 的次数最多是 \(87\)，操作 \(1,2\) 的次数为 \(n\) 拆分成的斐波那契数的数量，由于不可能拆分成相邻的两个斐波那契数（他们的和等于下一个斐波那契数），且斐波那契数列第一项和第二项都是 \(1\)，所以至多拆分为 \(\text{fib}_2+\text{fib}_4+\cdots+\text{fib}_{86}\)，一共 \(43\) 项。所以操作次数上界为 \(87+43=130\)。

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;

const int N=100;
const ll Inf=1e18;
ll n,m,p,fib[N];
queue<int> q;
vector<int> a;

int main()
{
	scanf("%lld",&n);
	fib[1]=1; p=n;
	for (m=2;fib[m-1]<=n;m++)
		fib[m]=fib[m-1]+fib[m-2];
	for (int i=m;i>=1;i--)
		if (p>=fib[i]) p-=fib[i],a.push_back(i);
	a.push_back(2);
	int v=(!(a[0]&1))+3;
	for (int i=1;i<a.size()-1;i++)
	{
		q.push(5-v);
		for (int j=a[i];j>a[i+1];j--)
			q.push(v),v=7-v;
	}
	q.push(3);
	cout<<q.size()<<"\n";
	for (;q.size();q.pop())
		cout<<q.front()<<"\n";
	return 0;
}