【洛谷P3228】数列

题目

题目链接：https://www.luogu.com.cn/problem/P3228
小 T 最近在学着买股票，他得到内部消息：F 公司的股票将会疯涨。股票每天的价格已知是正整数，并且由于客观上的原因，最多只能为 \(n\)。在疯涨的 \(k\) 天中小 T 观察到：除第一天外每天的股价都比前一天高，且高出的价格（即当天的股价与前一天的股价之差）不会超过 \(m\)，\(m\) 为正整数。并且这些参数满足 \(m(k-1)<n\)。小 T 忘记了这 \(k\) 天每天的具体股价了，他现在想知道这 \(k\) 天的股价有多少种可能。
\(m,k,p\leq 10^9;n\leq 10^{18}\)。

思路

不难想到把每天的股价差分一下。那么现在问题转化为对于一个长度为 \(k-1\) 的序列 \(a\)，且 \(a\) 的每一个元素都不超过 \(m\)，它的贡献是 \((n-\sum^{i=1}_{k-1}a_i)\)。求所有满足要求的序列的贡献之和。
显然差分序列一共有 \(m^{k-1}\) 种。记 \(a_{i,j}\) 为第 \(i\) 种差分序列的第 \(j\) 个元素。那么答案即为

\[\sum^{m^{k-1}}_{i=1}\left ( n-\sum_{j=1}^{k-1}a_{i,j}\right ) \]

\[=n\times m^{k-1}-\sum^{m^{k-1}}_{i=1}\sum_{j=1}^{k-1}a_{i,j} \]

考虑减号后面一部分。也就是所有差分序列的所有元素和。
可以发现每一个 \([1,m]\) 间的数字的出现次数都是一样的。因为对于两个数字 \(x,y\)，我们把所有差分序列中 \(x\) 和 \(y\) 的位置交换，那么这 \(m^{k-1}\) 个差分序列必然和没有交换前的一致。
由于所有数字出现次数之和为 \(m^{k-1}\times (k-1)\)，所以每一个数字的出现次数就为 \(m^{k-2}\times (k-1)\)。所以答案就是

\[n\times m^{k-1}-\frac{m(1+m)}{2}\times m^{k-2}\times (k-1) \]

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;

ll n,m,k,p;

ll fpow(ll x,ll k)
{
	ll ans=1;
	for (;k;k>>=1,x=x*x%p)
		if (k&1) ans=ans*x%p;
	return ans;
}

int main()
{
	scanf("%lld%lld%lld%lld",&n,&k,&m,&p);
	printf("%lld",(n%p*fpow(m,k-1)%p-fpow(m,k-2)*(k-1)%p*((1+m)*m/2%p)%p+p)%p);
	return 0;
}