【CF1499F】Diameter Cuts

题目

题目链接：https://codeforces.com/contest/1499/problem/F
给定一棵 \(n\) 个结点的树，求有多少边集满足在树上删去边集中的边后，森林中每一棵树的直径都不超过 \(m\)。
\(n,m\leq 5000\)。

思路

设 \(f[x][i]\) 表示以 \(x\) 为根的子树内，删去若干条边后最深的点到 \(x\) 的距离为 \(i\) 的方案数。
考虑合并 \(x\) 的一棵子树 \(y\)，有转移

\[f[x][\max(j,k+1)]\gets f'[x][j]\times f[y][k]\ (j+k+1\leq m) \]

直接做是 \(O(n^3)\) 的，我们发现转移式中第二维上界是子树中深度最大的点到子树的根的距离，这个东西是不超过子树大小的。所以第二维只需要枚举到上界即可做到 \(O(n^2)\)。

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N=5010,MOD=998244353;
int n,m,ans,tot,head[N],maxd[N],f[N][N],g[N];

struct edge
{
	int next,to;
}e[N*2];

void add(int from,int to)
{
	e[++tot]=(edge){head[from],to};
	head[from]=tot;
}

void dfs(int x,int fa)
{
	f[x][0]=1;
	for (int i=head[x];~i;i=e[i].next)
	{
		int v=e[i].to;
		if (v!=fa)
		{
			dfs(v,x);
			for (int j=0;j<=max(maxd[x],maxd[v]+1);j++)
				g[j]=f[x][j],f[x][j]=0;
			for (int j=0;j<=maxd[x];j++)
				for (int k=0;k<=maxd[v];k++)
					if (j+k+1<=m)
						f[x][max(j,k+1)]=(f[x][max(j,k+1)]+1LL*g[j]*f[v][k])%MOD;
			maxd[x]=max(maxd[x],maxd[v]+1);
			int sum=0;
			for (int j=0;j<=maxd[v];j++)
				sum=(sum+f[v][j])%MOD;
			for (int j=0;j<=maxd[x];j++)
				f[x][j]=(f[x][j]+1LL*g[j]*sum)%MOD;
		}
	}
}

int main()
{
	memset(head,-1,sizeof(head));
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for (int i=1,x,y;i<n;i++)
	{
		scanf("%d%d",&x,&y);
		add(x,y); add(y,x);
	}
	dfs(1,0);
	for (int i=0;i<=m;i++)
		ans=(ans+f[1][i])%MOD;
	printf("%d",ans);
	return 0;
}