线段树的各种姿势

普通线段树

线段树可以维护序列。一棵线段树长这样：

 1 2 3 4 5
|---------|
     / \
|-----|---|
   / \ / \
|---|-|-|-|
 / \
|-|-|

容易发现，线段树是一棵二叉树。线段树的每个节点都对应原序列的一段区间，且每个节点的左儿子和右儿子对应的区间长度几乎相等。

具体地说，假设当前节点对应区间 \([l,r]\)，则其左儿子对应区间 \([l,\lfloor \dfrac{l+r}{2} \rfloor]\)，右儿子对应区间 \([\lfloor \dfrac{l+r}{2} \rfloor+1,r]\)。如果 \(l=r\)，说明当前节点为叶子节点。

考虑如何分配节点的编号，这里我们可以令根结点的编号为 \(1\)，\(i\) 号节点的左儿子编号为 \(2i\)，右儿子编号为 \(2i+1\)，容易发现这样分配编号是对的，注意此时数组的空间需要开到 \(4n\)，否则可能会出现越界等情况。

（待填）

懒标记与标记永久化

（待填）

非递归线段树

（待填）

单侧递归线段树

（待填）

区间最值操作

（待填）

可持久化线段树

（待填）

区间历史查询

先说历史版本和。

以区间加操作为例，我们需要维护一个长度为 \(n\) 的序列 \(a\) 和一个长度为 \(n\) 的初始全为 \(0\) 的序列 \(s\)，维护以下三种操作：

• 首先 \(\forall i \in [l,r] , a_i \leftarrow a_i + x\)，接着 \(\forall i \in [1,n] , s_i \leftarrow s_i + a_i\)

• 查询 \(\sum\limits_{i=l}^r a_i\)

• 查询 \(\sum\limits_{i=l}^r s_i\)

这里的 \(s_i\)，也就是我们说的历史版本和，我们要做的就是在维护 \(a\) 的同时维护 \(s\)，这里直接套用传统的线段树并不行，我们需要使用别的方法维护。

先来一个极端暴力的做法。我们考虑对于节点 \(i\) 需要维护什么信息，假设其对应的区间为 \([l_i,r_i]\)，则我们一定需要维护 \(sum_i=\sum\limits_{i=l_i}^{r_i} s_i\) 以及 \(num_i=\sum\limits_{i=l_i}^{r_i} a_i\)，考虑一次修改操作产生的影响，不妨令 \(len_i=r_i-l_i+1\)，则一次区间加操作产生的影响为：

• 首先 \(num_i \leftarrow num_i+len_i \times x\)，接着 \(sum_i \leftarrow sum_i + num_i\)。

我们不妨记修改后的数为 \(sum_i'\) 和 \(num_i'\)，则可以得到：

• \(num_i' = num_i + len_i \times x\)

• \(sum_i' = sum_i + num_i + len_i \times x\)

发现这个东西容易用矩阵维护。对于节点 \(i\) 考虑维护一个矩阵 \(\begin{bmatrix} sum_i & num_i & len_i\end{bmatrix}\)，则一次区间修改容易用下面的式子刻画：

\[\begin{bmatrix} sum_i & num_i & len_i \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ x & x & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} sum_i' & num_i' & len_i \end{bmatrix} \]

我们只需要维护一棵支持区间乘矩阵的线段树即可，这一点是简单的。

但是我们还有一个问题：对于没有进行修改的区间，其历史和不会被更新，这个时候我们需要手动更新。你当然可以选择区间加 \(0\)，但是这种方法的适配性不高。我们采用下面的式子：

\[\begin{bmatrix} sum_i & num_i & len_i \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} sum_i' & num_i' & len_i \end{bmatrix} \]

欸你这个怎么和区间加 \(0\) 一模一样啊！但是不同的是，对于所有没有操作到的位置，都可以用这个矩阵转移。

于是我们就解决了这个问题，复杂度 \(O(3^3 n \log n)\)。

当然这个做法是我口胡的。

但是不要紧，我们来看新的问题，现在我们需要维护一个长度为 \(n\) 的序列 \(a\) 和一个长度为 \(n\) 的初始全为 \(0\) 的序列 \(s\)，维护以下三种操作：

• 首先 \(\forall i \in [l,r] , a_i \leftarrow x\)，接着 \(\forall i \in [1,n] , s_i \leftarrow s_i + a_i\)

• 查询 \(\sum\limits_{i=l}^r a_i\)

• 查询 \(\sum\limits_{i=l}^r s_i\)

你考虑此时的操作形如：

• \(num_i' = len_i \times x\)

• \(sum_i' = sum_i + len_i \times x\)

接下来直接把矩阵的维护往里面套一下即可。

\[\begin{bmatrix} sum_i & num_i & len_i \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ x & x & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} sum_i' & num_i' & len_i \end{bmatrix} \]

当然对于没有修改的位置是这样的：

\[\begin{bmatrix} sum_i & num_i & len_i \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} sum_i' & num_i' & len_i \end{bmatrix} \]

于是你得到了一个口胡的大常数做法。

当然你可以在矩阵具有特殊性质的时候采用特殊方法维护，仍然以区间加为例。你考虑如下的矩阵乘法。

\[ \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ x_1 & x_1 & 1 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ x_2 & x_2 & 1 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ x_3 & x_3 & 1 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ x_4 & x_4 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 4 & 1 & 0 \\ 4x_1+3x_2+2x_3+x_4 & x_1+x_2+x_3+x_4 & 1 \end{bmatrix} \]

规律应该比较明显，所以我们只需要对于一个节点维护矩阵左下方的三个值即可，常数骤减，根本不要按照别的方法一样考虑标记的转移顺序，这很有道理！

那接下来考虑区间历史最值问题，我们以这道题为例，区间加与区间覆盖不变，但查询的是区间最大值与区间历史最大值，自然地我们考虑把矩阵乘法换成 \(\{max,+\}\) 的矩阵乘法。

我们考虑对于每个节点 \(i\)，维护 \(\begin{bmatrix} maxn_i & num_i & 0 \end{bmatrix}\)，接下来的两种操作可以描述：

• 区间加操作，\(num_i' = num_i + x\)，\(maxn_i' = \max(maxn_i,num_i + x)\)

• 区间覆盖操作，\(num_i' = x\)，\(maxn_i' = \max(maxn_i,x)\)

我们写成矩阵乘法形式，对于区间加：

\[\begin{bmatrix} maxn_i & num_i & 0 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} 0 & -\infty & -\infty \\ x & x & -\infty \\ -\infty & -\infty & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} maxn_i' & num_i' & 0 \end{bmatrix} \]

对于区间覆盖：

\[\begin{bmatrix} maxn_i & num_i & 0 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} 0 & -\infty & -\infty \\ -\infty & -\infty & -\infty \\ x & x & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} maxn_i' & num_i' & 0 \end{bmatrix} \]

对于没有操作的区间：

\[\begin{bmatrix} maxn_i & num_i & 0 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} 0 & -\infty & -\infty \\ -\infty & 0 & -\infty \\ -\infty & -\infty & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} maxn_i' & num_i' & 0 \end{bmatrix} \]

于是就结束了。