函数梯度及空间曲面切平面

函数梯度及空间曲面切平面

求曲面(线)的 \(y=x^2\) 在点 \(P(1,1)\) 处的切线。

解：
　　令：\(f(x,y)=x^2-y\)，
　　则梯度方向为：\(\nabla f(x,y)=2xi-j\)
　　所以等值面(等高线) \(f(x,y)=x^2-y=0\) 的在点 \(P(1,1)\) 处的法向量为：\(\overrightarrow {n} = (2,-1)\)
　　所以，\(y=x^2\) 在 \(P(1,1)\) 处的切线(面)方程为：
　　　　　　\(2(x-1)-(y-1)=0\)
　　即：\(2x-y-1=0\)

总结：

首先重申一下梯度的概念：
　　函数\(f(\overrightarrow {x})\)在某点的梯度是这样一个向量：它指向的方向函数增加最快；此时，函数在这个方向的方向导数达到最大值，这个最大值就是梯度的模。

　　所谓“梯度垂直于等高线” 是指：

• \(f(x,y)\) 在某点梯度方向垂直于\(f(x,y)=C\) 的等高线，而不是垂直于 \(f(x,y)\) 本身。
• 梯度为等高线在该点的法向量。
• 如果两个等值面法线相等，则这两个等值面相切，且有共同的切平面。

这个材料写的还可以：方向导数与梯度
或者打开学习的正确方式：梯度，方向导数，切平面

画图说明：
　　如果把 \(f(x,y)=x^2-y\)当做一个二元函数的取值，并且放在第三个维度来看\(f(x,y)\) 的取值：

　　但是，分别取两个等高线 \(f(x,y)=x^2-y=0\) 和 \(f(x,y)=x^2-y=-2\) 两个等高线，并分别在 \((1, 1)\) 处和 \((1, 3)\)处根据\(f(x,y)\)的梯度找到做两者的法线方程(图中未画)和切线方程。

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现在我们上升一个维度来继续做相同的事情，来加深对概念的理解：

求 \(x^2+2y^2+3z^2=6\) 在 \(P(1,1,1)\) 处的法线方程：

解：
　　令：\(f(x,y)=x^2+2y^2+3z^2\)，

　　则梯度方向为：\(\nabla f(x,y,z)=2xi+4j+6z\)。

　　由梯度和等值面的关系可知：隐函数\(f(x,y,z)\)在点\(P\)处的梯度方向, 就是等值面\(f(x,y,z)=6\)在\(P\)处的法向量方向。

　　所以等值面(等高线) \(f(x,y,z)=6\) 的在点 \(P\) 处的法向量为：\(\overrightarrow {n} = (2,4,6)\)

　　所以，\(y=x^2\) 在 \(P(1,1)\) 处的切平面方程为：
　　　　　　　　\(2(x-1)+4(y-1)+6(z-1)=0\)
　　即：\(2x+4y+6z-12=0\)
　　
　　法线方程是：
　　　 \(\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y-1}{4}=\dfrac{z-1}{6}\)
　　或者写作：\(x=2t+1, y=4t+1, z=6t+1\)

　　
　　现在，我们画图来理解 \(f(x,y,z)=x^2+2y^2+3z^2\) ，\(f(x,y,z)=6\)，以及切平面的位置。
　　不过现在有个问题，因为我们只能看到三维空间中的图像，如果上升到四维，我们在三维空间是表示不了因变量 \(f(x,y,z)\) 的。所以，只能画出等值面，以及等值面 \(f(x,y,z)=6\) 的切平面 【注意这个等值面是三维的，不同于我们印象中的二维的等值面(等高线)】

这里提一下对与一维的\(f(x)\)怎么理解梯度方向垂直于等高线：
　　例如： \(x^2 = 4\), 则 \(f(x)=x^2\)，梯度方向为 \(\nabla f(x)=2xi\)，在 \(x=2\) 处的等高线 \(f(x)=4\) 为垂直于 \(x\) 轴的一条直线(整个示意图都在一维坐标上完成)，而由于只有一维，梯度方向就是延 \(x\) 轴指向正的方向。所以“梯度方向(\(x\)轴)”垂直于“等高线(\(f(x)=4\))”，并且梯度方向指向的是 \(f(x)\)增大的方向。
【lk：这个一维下的概念纯属个人的理解，若有不对之处，望指正。】