Strassen 对偶定理

Strassen 对偶定理

本文内容全部来源于 Avi Wigderson 与 Jeroen Zuiddam 所著的 Asymptotic spectra: Theory, applications and extensions 一文。

2　我们研究的对象

定义 2.1（交换半环）：

对于非空集合 \(\mathcal{R}\) 及其上的二元运算 \(+\)、\(\times\)，若下列条件均成立，则三元组 \((\mathcal{R},+,\times)\) 称为一个交换半环：

1. 加法 \(+\) 满足交换律与结合律。
2. 乘法 \(\times\) 满足交换律与结合律。
3. 乘法 \(\times\) 对加法 \(+\) 满足分配律。
4. 存在乘法单位元 \(1\)。

在确定乘法单位元 \(1\) 之后，沿着 \(2=1+1\)、\(3=2+1\) 等构造，我们可以把每个自然数 \(n\in\mathbb{N}_{\ge1}\) 唯一地对应为 \(\mathcal{R}\) 中的一个元素。

接下来我们考虑定义在 \(\mathcal{R}\) 上的二元关系。为书写方便，我们将二元关系 \(P\subseteq\mathcal{R}\times\mathcal{R}\) 与记号 \(\le_P\) 一一对应，即 \(a\le_P b\) 当且仅当 \((a,b)\in P\)。

定义 2.2（Strassen 预序）：

对于非空集合 \(\mathcal{R}\) 及其上的二元关系 \(P\)，若下列条件均成立，则称 \(P\) 为一个 Strassen 预序：

1. 自反性：对任意 \(a\in\mathcal{R}\)，有 \(a\le_P a\)。
2. 传递性：对任意 \(a,b,c\in\mathcal{R}\)，若 \(a\le_P b\) 且 \(b\le_P c\)，则 \(a\le_P c\)。
3. 保持自然数的顺序：对任意 \(n,m\in\mathbb{N}_{\ge1}\)，\(n\le m\) 当且仅当 \(n\le_P m\)。
4. 保持元素的非负性：对任意 \(a,b,c\in\mathcal{R}\)，若 \(a\le_P b\)，则 \(a+c\le_P b+c\) 且 \(ac\le_P bc\)。
5. 强阿基米德性质：对每个 \(a\in\mathcal{R}\)，存在 \(n\in\mathbb{N}_{\ge1}\) 使得 \(1\le_P a\le_P n\)。

我们把研究对象限定为带有 Strassen 预序的交换半环，即 Strassen 半环。对于这样的交换半环 \(\mathcal{R}\)，通过上面的构造有 \(\mathbb{N}_{\ge1}\subseteq\mathcal{R}\)。这里注意，我们在本文中并不把加法单位元 \(0\) 作为独立的研究对象来讨论。

在实际应用中，常用交换半环 \(\mathcal{R}\) 来刻画所有「计算问题／计算资源」的集合，用 Strassen 预序 \(P\) 来刻画问题之间的「归约关系」。当问题 \(a\) 能归约到问题 \(b\)（或用资源 \(b\) 可以解决 \(a\)）时，就把 \((a,b)\) 记入 \(P\)。

定义 2.3（上秩、下秩）：

对 \(a\in\mathcal{R}\)，定义其上秩 \(\mathrm{R}_P(a)\) 为满足 \(a\le_P n\) 的最小自然数 \(n\in\mathbb{N}_{\ge1}\)。

对 \(a\in\mathcal{R}\)，定义其下秩 \(\mathrm{Q}_P(a)\) 为满足 \(n\le_P a\) 的最大自然数 \(n\in\mathbb{N}_{\ge1}\)。

结论 2.4（秩的可加性、可乘性）：

上秩 \(\mathrm{R}_P\) 具有次可加性、次可乘性，并且关于 \(P\) 单调，同时 \(\mathrm{R}_P(1)=1\)。

下秩 \(\mathrm{Q}_P\) 具有过可加性、过可乘性，并且关于 \(P\) 单调，同时 \(\mathrm{Q}_P(1)=1\)。

（证明略。）

可将上秩视为一个元素的「价格」，下秩视为其「价值」。

定义 2.5（渐进上秩、渐进下秩）：

对 \(a\in\mathcal{R}\)，定义其渐进上秩 \(\widetilde{\mathrm{R}}_P(a):=\lim_{n\to+\infty}\sqrt[n]{\mathrm{R}_P(a^n)}\)，

对 \(a\in\mathcal{R}\)，定义其渐进下秩 \(\widetilde{\mathrm{Q}}_P(a):=\lim_{n\to+\infty}\sqrt[n]{\mathrm{Q}_P(a^n)}\)。

结论 2.6（渐进秩的可加性、可乘性）：

渐进上秩 \(\widetilde{\mathrm{R}}_P(a)\) 亦等于序列 \({\sqrt[n]{\mathrm{R}_P(a^n)}}_{n\ge1}\) 的下确界（infimum）。

渐进上秩 \(\widetilde{\mathrm{R}}_P\) 具有次可加性、次可乘性，并且关于 \(P\) 单调，同时 \(\widetilde{\mathrm{R}}_P(1)=1\)。

渐进下秩 \(\widetilde{\mathrm{Q}}_P(a)\) 亦等于序列 \({\sqrt[n]{\mathrm{Q}_P(a^n)}}_{n\ge1}\) 的上确界（supremum）。

渐进下秩 \(\widetilde{\mathrm{Q}}_P\) 具有过可加性、过可乘性，并且关于 \(P\) 单调，同时 \(\widetilde{\mathrm{Q}}_P(1)=1\)。

（证明略。）

这里以渐进上秩为例：\(\lim_{n\to+\infty}\sqrt[n]{\mathrm{R}_P(a^n)}\) 等于序列 \({\sqrt[n]{\mathrm{R}_P(a^n)}}\) 的下确界，这是因为上秩具有次可乘性。

1　关键直觉

例子 1.1（连续函数）

举一具体例子：

• 令交换半环 \(\mathcal{R}\) 为所有连续函数 \(f:[0,1]\to\mathbb{R}_{\ge1}\) 的集合；
• 加法和乘法按点运算定义：\((f+g)(x)=f(x)+g(x)\)，\((fg)(x)=f(x)g(x)\)；
• 预序按逐点比较：\(f\le g\) 当且仅当 \(\forall x\in[0,1],\ f(x)\le g(x)\)；
• 自然数对应的恒等函数为 \(\mathbf{1}(x)=1,\ \mathbf{2}(x)=2\)，以此类推。

在该设置下，\(\mathrm{R}_P(f)=\left\lceil\max_{x\in[0,1]}f(x)\right\rceil\)，\(\mathrm{Q}_P(f)=\left\lfloor\min_{x\in[0,1]}f(x)\right\rfloor\)，\(\widetilde{\mathrm{R}}_P(f)=\max_{x\in[0,1]}f(x)\)，\(\widetilde{\mathrm{Q}}_P(f)=\min_{x\in[0,1]}f(x)\)。

实际上，可将 \([0,1]\) 替换为任一紧致空间 \(\mathcal{X}\)，上述结论仍然成立。

例子 1.2（关键直觉）

Strassen 对偶定理的要旨在于说明：任一带有 Strassen 预序的交换半环，在「渐进意义上」几乎等价于例子 1.1 那样的简单形式。

更具体地，固定一个 Strassen 预序 \(P\)，定义其渐进光谱 \(\mathcal{X}_P\) 为所有关于 \(P\) 单调的半环同态 \(\phi:\mathcal{R}\to\mathbb{R}_{\ge1}\) 的集合。可以证明 \(\mathcal{X}_P\) 是一个紧致空间。

因此，每个元素 \(a\in\mathcal{R}\) 可视为一个函数 \(f_a:\mathcal{X}_P\to\mathbb{R}_{\ge1}\)，定义为 \(f_a(\phi):=\phi(a)\)。这里的自变量是不同的半环同态 \(\phi\)，而函数值是 \(a\) 在该同态下的像 \(\phi(a)\)。

可以把渐进光谱中的每个同态 \(\phi\) 理解为一种「评价方式」：同态 \(\phi\) 给出对任一元素 \(a\) 的评价 \(\phi(a)\ge1\)，进而可用该评价在不同元素间比较大小。

若元素 \(a\) 可归约到 \(b\)，则对任意评价方式 \(\phi\) 都有 \(\phi(a)\le\phi(b)\)，即函数 \(f_a\le f_b\)。如果 \(f_a\) 与 \(f_b\) 互有上下，则说明 \(a\) 与 \(b\) 在预序下互不归约。

事实是：在渐进意义下，\(a\) 能归约到 \(b\) 当且仅当对所有 \(\phi\in\mathcal{X}_P\) 有 \(\phi(a)\le\phi(b)\)。

（惟在某些病态情形下，\(f_a\) 可能并非连续，因此 \(\max,\min\) 可能不存在。）

3　Strassen 对偶定理的证明

定义 3.1（渐进闭包）

对于给定二元关系 \(P\)，其渐进闭包 \(\widetilde{P}\) 定义如下：对任意 \(a,b\in\mathcal{R}\)，有 \((a,b)\in\widetilde{P}\) 当且仅当存在函数 \(f:\mathbb{N}_{\ge1}\to\mathbb{N}_{\ge1}\) 使得 \(f(n)=o(n)\)，并且对所有 \(n\ge1\) 有

\[a^n\le_P b^n 2^{f(n)}. \]

这里 \(f(n)=o(n)\) 可替换为 \(\lim_{n\to+\infty}\frac{f(n)}{n}=0\)，或等价地说序列 \({\frac{f(n)}{n}}\) 的下确界为 \(0\)。

结论 3.2（闭包的扩展性）

对任意 Strassen 预序 \(P\)，其渐进闭包 \(\widetilde{P}\) 仍然是一个 Strassen 预序，且为 \(P\) 的扩展（即 \(P\subseteq\widetilde{P}\)）。

（证明略。）

结论 3.3（闭包的封闭性）

称 Strassen 预序 \(P\) 为封闭的，当且仅当 \(\widetilde{P}=P\)。

对任意 Strassen 预序 \(P\)，\(\widetilde{P}\) 本身是封闭的，亦即 \(\widetilde{\widetilde{P}}=\widetilde{P}\)。

（证明略。）

结论 3.4（闭包的消去律、缺口性质）

对任意封闭的 Strassen 预序 \(P\)，有：

1. 加法消去律：对 \(a,b,c\in\mathcal{R}\)，若 \(a+c\le_P b+c\)，则 \(a\le_P b\)；
2. 乘法消去律：对 \(a,b,c\in\mathcal{R}\)，若 \(ac\le_P bc\)，则 \(a\le_P b\)；
3. 缺口性质：对 \(a,b\in\mathcal{R}\)，若 \(a\not\le_P b\)，则存在 \(n\in\mathbb{N}_{\ge1}\) 使得 \(na\not\le_P nb+1\)。

（证明略。）

结论 3.5（一步扩展定理）

对任意封闭的 Strassen 预序 \(P\) 及任意 \(a,b\in\mathcal{R}\)，若 \((a,b)\notin P\)，则可将 \(P\) 扩展为一个 Strassen 预序 \(Q\)，使得 \((b,a)\in Q\) 且 \((a,b)\notin Q\)。

构造如下：

\[Q:=\left\{(x,y)\in\mathcal{R}^2:\ \exists s\in\mathcal{R}\cup\{0\},\ (x+sa,y+sb)\in P\right\}. \]

自反性、传递性、保持非负性与强阿基米德性质均易验证；唯一需注意的是保持自然数顺序。证明略述如下：若 \(n\le m\)，显然 \(n\le_P m\)，从而 \(n\le_Q m\)。反之，若 \(n\ge m+1\)，反设 \(n\le_Q m\)，由定义存在 \(s\in\mathcal{R}\) 使得 \(n+sa\le_P m+sb\)。将该式与 \(m+1\le n\) 相加得 \(n+m+1+sa\le_P n+m+sb\)。由 \(P\) 封闭并用加法消去律得 \(1+sa\le_P sb\)，进而 \(sa\le_P sb\)，再由乘法消去律得 \(a\le_P b\)，与 \((a,b)\notin P\) 矛盾，故假设不成立。

结论 3.6（完全扩展定理）

称 Strassen 预序 \(P\) 为完全的，当且仅当对任意 \(a,b\in\mathcal{R}\)，至少有一方成立 \(a\le_P b\) 或 \(b\le_P a\)。

对任意封闭的 Strassen 预序 \(P\)，必存在一个 Strassen 预序 \(Q\)，其为 \(P\) 的扩展，且同时为完全的和封闭的。

证明要点：令 \(\mathcal{P}\) 为所有包含 \(P\) 的预序的集合。对 \(\mathcal{P}\) 中任意链，取其并作为上界，由 Zorn 引理可得极大元。任取该极大元 \(Q\)，若 \(Q\) 非完全，则可按一步扩展定理继续扩展，矛盾；若 \(Q\) 非封闭，则取其渐进闭包亦可得到严格扩展，亦矛盾。故 \(Q\) 同时为完全且封闭。

结论 3.7（交集定理）

对任意封闭的 Strassen 预序 \(P\)，有

\[P=\bigcap_{\substack{Q\ \text{是}\\P\ \text{的扩展且完全、封闭}}} Q. \]

证明要点：一方面显然 \(P\subseteq\bigcap_{P\subseteq Q}Q\)。若 \((x,y)\notin P\)，由缺口性质存在 \(n\) 使得 \((nx,ny+1)\notin P\)。按一步扩展定理将 \(P\) 扩展为 \(Q_1\) 使得 \((ny+1,nx)\in Q_1\)，取其渐进闭包并再扩展为极大（从而完全、封闭）的 \(Q_2\)，则 \((ny+1,nx)\in Q_2\)。若同时有 \((x,y)\in Q_2\)，则可推得矛盾式子 \((2,1)\in Q_2\)，因此 \((x,y)\notin Q_2\)。由此可得包含关系的反向包含，完成证明。

定义 3.8（分数上秩、分数下秩）

对 \(a\in\mathcal{R}\)，定义分数上秩 \(\rho_P(a)\) 为所有分数 \(\frac{n}{m}\) 的下确界，其中 \(n,m\in\mathbb{N}_{\ge1}\) 且满足 \(ma\le_P n\)。

对 \(a\in\mathcal{R}\)，定义分数下秩 \(\kappa_P(a)\) 为所有分数 \(\frac{n}{m}\) 的上确界，其中 \(n,m\in\mathbb{N}_{\ge1}\) 且满足 \(n\le_P ma\)。

显然有 \(\mathrm{Q}_P(a)\le\kappa_P(a)\le\rho_P(a)\le\mathrm{R}_P(a)\)。

结论 3.9（分数秩的可加性、可乘性）

分数上秩 \(\rho_P\) 具有次可加性、次可乘性，并且关于 \(P\) 单调，且 \(\rho_P(1)=1\)。

分数下秩 \(\kappa_P\) 具有过可加性、过可乘性，并且关于 \(P\) 单调，且 \(\kappa_P(1)=1\)。

（证明略。）

结论 3.10（单调同态）

若一个 Strassen 预序 \(P\) 为完全的，则对任意 \(a\in\mathcal{R}\) 有 \(\rho_P(a)=\kappa_P(a)\)。因此 \(\rho_P\) 既可加又可乘，并且关于 \(P\) 单调，同时 \(\rho_P(1)=1\)，即 \(\rho_P\) 是一个关于 \(P\) 单调的半环同态。

（证明略。）

结论 3.11（渐进光谱）

对带 Strassen 预序 \(P\) 的交换半环 \(\mathcal{R}\)，其渐进光谱 \(\mathcal{X}_P\)（由关于 \(P\) 单调的半环同态 \(\phi:\mathcal{R}\to\mathbb{R}_{\ge1}\) 组成）与 \(P\) 的极大扩展 \(Q\) 之间存在一一对应关系：由右至左为 \(\phi=\rho_Q\)，由左至右为 \(Q=\big\{(a,b):\phi(a)\le\phi(b)\big\}\)。

（证明略。）

结论 3.12（Strassen 对偶定理）

对任意带 Strassen 预序 \(P\) 的交换半环 \(\mathcal{R}\)，对任意 \(a,b\in\mathcal{R}\)，有 \(a\le_{\widetilde{P}} b\) 当且仅当对每个 \(\phi\in\mathcal{X}_P\) 都成立 \(\phi(a)\le\phi(b)\)。

证明要点：

• 左向右：若 \(a\le_{\widetilde{P}} b\)，则存在 \(f(n)=o(n)\) 使得 \(a^n\le_P b^n 2^{f(n)}\)，对任意 \(\phi\) 取像即得 \(\phi(a)^n\le\phi(b)^n 2^{f(n)}\)，从而 \(\phi(a)\le\phi(b)\)。
• 右向左：若 \(a\not\le_{\widetilde{P}} b\)，由交集定理可构造一个极大（从而完全且封闭的）扩展 \(Q\) 使得 \(a\not\le_Q b\)。由缺口性质存在 \(n\) 使得 \(na\not\le_Q nb+1\)，且因 \(Q\) 为完全的，故 \(nb+1\le_Q na\)。由 \(Q\) 的性质，\(\rho_Q\) 为关于 \(Q\) 单调的半环同态，于是 \(\rho_Q(b)+\tfrac{1}{n}\le\rho_Q(a)\)，从而构造出 \(\phi=\rho_Q\in\mathcal{X}_P\) 使得 \(\phi(a)>\phi(b)\)，完成证明。

结论 3.13（渐进上秩定理）

对任意 \(a\in\mathcal{R}\)，当存在 \(k\) 使得 \(a^k\ge_P 2\) 时，下列三者相等：

1. \(\widetilde{\mathrm{R}}_P(a)\)；
2. 集合 \(\big\{\tfrac{n}{m}\in\mathbb{Q}_{\ge1}:\ ma\le_{\widetilde{P}} n\big\}\) 的下确界；
3. 集合 \(\big\{\phi(a):\phi\in\mathcal{X}_P\big\}\) 的上确界。

（证明略。）

结论 3.14（渐进下秩定理）

对任意 \(a\in\mathcal{R}\)，当存在 \(k\) 使得 \(a^k\ge_P 2\) 时，下列三者相等：

1. \(\widetilde{\mathrm{Q}}_P(a)\)；
2. 集合 \(\big\{\tfrac{n}{m}\in\mathbb{Q}_{\ge1}:\ n\le_{\widetilde{P}} ma\big\}\) 的上确界；
3. 集合 \(\big\{\phi(a):\phi\in\mathcal{X}_P\big\}\) 的下确界。

（证明略。）

定义 3.15（有限渲染）

渐进光谱一般是无限维的。为便于观察，可作有限渲染：取半环中的若干元素 \(a_1,\dots,a_k\in\mathcal{R}\)，在这些点处同时求值得到

\[\mathcal{X}_P(a_1,\dots,a_k):=\big\{(\phi(a_1),\dots,\phi(a_k)):\ \phi\in\mathcal{X}_P\big\}\subseteq\mathbb{R}^k_{\geqslant1}. \]

结论 3.16（一维有限渲染的紧致性）

对任意 \(a\in\mathcal{R}\)，一维有限渲染 \(\mathcal{X}_P(a)\) 在欧氏拓扑下是紧致的。

（证明略。）

结论 3.17（高维有限渲染的紧致性）

对任意 \(a_1,\dots,a_k\in\mathcal{R}\)，高维有限渲染 \(\mathcal{X}_P(a_1,\dots,a_k)\) 在欧氏拓扑下是紧致的。

（证明略。）

结论 3.18（完整渐进光谱的紧致性）

完整渐进光谱 \(\mathcal{X}_P\) 是一个紧致且 Hausdorff 的空间。

（证明略。）