Kleene 递归定理

Kleene 递归定理

在本文中，我将给出 Kleene 递归定理 详细且严谨的证明。通过逐步剖析证明中的微妙细节，我们不仅让结果显得扎实且直观，也得以一窥计算的若干核心思想。

与大多数计算理论中的定理一样，该结果可以推广到所有计算模型。它并非针对某个特定实现的行为，而是关于计算本身普遍性的结构。

在你跟随我们一起走完证明之后，我希望不仅呈现一个优美的证明，还能传达一个哲学视角：这个结果意味着在足够强大的形式系统中，自指是不可避免的。一旦一个系统能够在 形 层面描述自身，它也必然能够在 元 层面描述自身，这是一个自然且无法回避的结果。这既非技巧、亦非比喻，更非仅仅哲学层面的遐想；然而，为了真正理解这一陈述为何确实为真，我们必须深入数学细节。

图灵机的功能

图灵机接受一个二进制字符串作为输入，执行若干计算，最终输出另一个二进制字符串。

• 我们记作 \(A(x)=y\) 表示机器 \(A\) 在输入 \(x\) 时停机最终输出 \(y\)。若 \(A\) 在 \(x\) 上不停机，我们记作 \(A(x)=\bot\)。
• 若机器 \(A\) 在所有输入上都停机，则称 \(A\) 为 全机（total）。
• 若机器 \(A\) 在某些输入上不停机，则称 \(A\) 为 偏机（partial）。

若两台机器 \(A\) 与 \(B\) 在所有输入上产生相同输出，则称它们 功能等价，即对所有 \(x\in\{0,1\}^*\)，都有 \(A(x)=B(x)\)。

机器代码 —— 程序与数据同质

我们假设存在一种 良性 的编码方案，即单射且双向可计算。

• 编码 算子 \(\downarrow\)，写作 \(A_\downarrow = a\)，将机器 \(A\) 映射到其唯一的二进制串代码 \(a\)。
• 解码 算子 \(\uparrow\)，写作 \(a_\uparrow = A\)，将二进制串 \(a\) 解释为机器 \(A\) 的代码（若 \(a\) 有效）。

我们必须实现以下模块：编码模块（将机器映射到其唯一有效代码）、验证模块（检查代码是否有效）和解码模块（将有效代码还原为机器）。

若某串 \(a\) 并非有效代码，则定义解码后得到的机器 \(A = a_\uparrow\) 对所有输入均不停机，即对所有 \(x\in\{0,1\}^*\)，有 \(A(x)=\bot\)。

对于两段代码 \(a, b\)，若解码后得到的机器 \(A = a_\uparrow\) 与 \(B = b_\uparrow\) 功能等价，则记作 \(a \cong b\)。

Kleene 递归定理 —— 变换的不动点

在以下各节中，我们常用大写字母与对应小写字母来分别表示机器与其代码（例如 \(M\) 与 \(m\)，\(X\) 与 \(x\)，\(Y\) 与 \(y\)）。

定理陈述

对于任意全机 \(T\)（称作 变换器），存在一台机器 \(Y\)（可以是偏机）及其代码 \(y\)，使得

\[y \cong T(y). \]

换言之，\(y\)（作为代码）在功能等价意义下，是变换 \(T\) 的不动点。

定理证明

1. 构造一台全机 \(D\)（称作 对角机），满足对所有代码 \(a\in\{0,1\}^*\)：

   \[D(a) \cong A(a). \]

2. 定义全机

   \[X = T \circ D, \]

   即

   \[X(a) = T\bigl(D(a)\bigr), \]

   是一种函数复合。

3. 设 \(x\) 为 \(X\)​ 的代码，取

   \[y = D(x). \]

   则

   \[y = D(x) \cong X(x) = T\bigl(D(x)\bigr) = T(y). \]

   因此

   \[y \cong T(y), \]

   即 \(y\) 是 \(T\) 的不动点（功能等价意义下）。

核心所在

关键在于如何构造一个全机 \(D\)。

若天真的令 \(D(a)=A(a)\)，则需让 \(D\) 模拟 \(A\) 在 \(a\) 上的运算，这可能不会停机，从而令 \(D\) 成为偏机。正确做法是令 \(D(a) \cong A(a)\)，即 \(D(a)\) 输出一个 封装机 \(Q\) 的代码，该封装机在任意输入 \(w\) 上，其行为都复刻 \(A(a)_\uparrow\) 在 \(w\) 上的行为。

具体的，输入 \(a\) 时，全机 \(D\) 构造如下机器 \(Q\) 的描述：

1. 解码 \(a\) 以还原机器 \(A\)；
2. 模拟 \(A\) 在输入 \(a\) 上运行，得到代码 \(b = A(a)\)；
3. 解码 \(b\) 以还原机器 \(B\)；
4. 对任意输入 \(w\)，模拟 \(B\) 在 \(w\) 上运行，并输出相同的结果 \(B(w)\)。

最终，\(D\) 输出 \(q\)，即 \(Q\) 的代码。此构造保证 \(D\) 在每个 \(a\) 上均能停机，故 \(D\) 为全机。由于 \(D\) 并未真正运行 \(A\)、\(B\) 或 \(Q\) 的任何主体计算，仅仅是写出 \(Q\) 的代码（该代码包含两个解码与两个模拟模块），故保证了全性。

由此，\(Q\) 与 \(A(a)_\uparrow\)​ 在所有输入上表现一致，遂得

\[D(a) \cong A(a). \]

在整个证明中，这一对角机的构造是唯一真正「落脚于」计算模型本身的部分。除了编码与解码之外，该构造还要求模型能模拟任意机器在任意输入上的运行，而这正是赋予计算以强大力量的核心能力。

自指程序 —— 获取自身机器代码

在本节中，当我们说 \(M[v]\) 是一台单输入机器，意思是 \(M\) 是一台单输入机器，该输入称为 \(v\)。类似的，当我们说 \(F[u,v]\) 是一台双输入机器，意思是 \(F\) 是一台双输入机器，这两个输入称为 \(u, v\)。

定理陈述

我们提出一种构造，使得可以设计新型程序。应用此设计的机器 \(M\) 具有以下格式：

1. 检索 \(M\) 自身的机器代码 \(m\)，并将其保存为 \(u\)。
2. 使用 \(u\) 及其输入 \(v\) 进行我们指定的任意计算。

所有以此伪代码编写的程序都对应真实的机器，无论是图灵机还是 C++ 程序。

更具体的，在任何良性编码方案下，对于任意双输入机器 \(F[u,v]\)（无论是全机还是偏机），都必然存在一台单输入机器 \(M[v]\)，使得对所有的输入 \(v\in\{0,1\}^*\) 都有

\[M(v) = F(m,v) \]

其中 \(m = M_\downarrow\)，即机器 \(M\) 的代码。

定理证明

1. 构造一台全机 \(S\)，满足对所有代码 \(u\in\{0,1\}^*\) 及所有输入 \(v\in\{0,1\}^*\)：

   \[S(u)_\uparrow(v) = F(u,v). \]

2. 令 \(S\) 扮演变换器的角色，应用 Kleene 递归定理可得存在不动点

   \[m \cong S(m). \]

   此时令 \(M = m_\uparrow\)，则对任意输入 \(v\) 有

   \[M(v) = S(m)_\uparrow(v) = F(m,v). \]

关键仍在于如何构造全机 \(S\)。为了保证 \(S\) 为全机，\(S\) 不能直接运行 \(F\) 的任何部分。相反，在输入 \(u\) 时，\(S\) 构造一个机器 \(Q\) 的描述，使其行为如下：

1. 对任意输入 \(v\)，模拟 \(F\) 在输入 \(u,v\) 上运行，并输出相同的结果 \(F(u,v)\)。

然后，\(S\) 输出 \(q\)，即机器 \(Q\) 的代码。根据 Kleene 递归定理，存在 \(m\) 使得 \(m\cong S(m)\)，因此 \(M=m_\uparrow\) 确实能够检索自身的代码 \(m\) 并按预期执行后面的计算。

一个类比

可以将此设计类比于 C++ 中的 函数。存在一个（非 C++ 编译器）编译器，它以使用函数的 C++ 程序为输入，输出一个在功能上可证等价且不含函数的程序。（当然，该编译器通过操作程序的表示来工作，而不是去拆解黑箱内部。）这意味着引入函数并不扩展我们的计算能力。

然而，在程序中使用函数，使我们更容易表达思想；将程序划分为若干过程与子过程，符合人类认知习惯。函数 可以 被消除，并不意味着它们 应该 被消除；正相反，正是因为它们 可以 被消除，我们才有信心在计算的概念中接纳它们。

同样的，引入这种自指设计也不扩展我们的计算能力。但它开启了一种新的表达方式：能够书写「了解自身，自我反思并相应的改变行为」的程序。它让我们以机器本身的「声音」去编写，而不仅仅是数学家的视角。正是自指可以被「抹去」的可能性，证明了它的合法性 —— 这不是一种放纵，而是对理论所允许之事、机器本已能为之事的真实反映。