Codeforces 1288C - Two Arrays

题目大意：

给定n和m，有两个数组，两个数组的长度都等于m

数组内每个元素都在1到n中

对于两个数组对应的位置i，必须满足a[i]<=b[i]

a数组必须是不下降的序列

b数组必须是不上升的序列

求有多少种ab数组的排列方案满足上述题意

 

解题思路：

因为a不下降，b不上升，所以a总体呈上升趋势（或趋平），b总体呈下降趋势（或趋平）

所以只要满足a[m]<=b[m]即可让这个序列方案满足题意

或者说，将a数组左右对称后拼接在b数组后面，使得整个数组完全呈严格下降趋势的时候，即可满足题意

因此进行动态规划，令dp[i][j]表示第i个元素值为j时的方案数

对于整个数组全是最大值n的情况，显而易见只有一种方案数，所以dp[1~2m][n]=1

其后，第一个元素值为j时，方案数明显只有1；第i个元素值为j时，方案数为第i-1个元素为j时的方案数加上第i个元素为j+1时的方案数相加得到

故得到状态转移方程为

dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i][j+1]

最后取答案时，累加dp[2m][1~n]的所有方案数即可

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll mod=1000000007;
ll dp[25][2010];
int main(){
    ios::sync_with_stdio(0);
    cin.tie(0);cout.tie(0);
    ll n,m,i,j,ans=0;
    cin>>n>>m;
    for(i=1;i<=2*m;i++)
        dp[i][n]=1;
    for(j=n-1;j;j--){
        dp[1][j]=1;
        for(i=2;i<=2*m;i++)
            dp[i][j]=(dp[i-1][j]+dp[i][j+1])%mod;
    }
    for(j=n;j;j--)
        ans=(ans+dp[2*m][j])%mod;
    cout<<ans;
    
    return 0;
}