高等数学——要人命的小可爱

由于内容过多，所以这篇博客会咕很久才更完。（反正在NOIP之前应该可以）。

—————————————————第一部分—————————————————

1.微分

由于昨天学了微积分，今天一起讲一下。

首先是，微分的概念。
对于一个函数图像，我们选定一个\(x_0\)作为基准点，选择\(\Delta{x}\),作为变化量。
那么，函数值的变化量就是\(\Delta y\)。

\[\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0) \]

存在常数A：

\[\Delta y=A*\Delta x+o(\Delta x) \]

A就是该函数在\(\Delta x\)这个点变化率，就是导数：

\[dy|x=x_0=A\Delta x或df(x)|x=x_0=A\Delta x \]

这就是微分的定义了，是一个函数在某一个点的变化量，是与导数息息相关的。

2.积分

积分是微分的逆运算。

在求得微分的过程中，我们要通过求导求出函数的导函数，而在积分中，我们要知道导函数，求出导函数的原函数。

求导大家都会，但是怎么求原函数呢？

一个函数的导函数只有一个，但一个函数的原函数却有很多个，因为常数的导数是0，所以每个原函数后面都要加一个常数C。

接下来来就是不定积分的两个重要定义了：

1.原函数

设函数\(f\)和函数\(F\)在区间\(I\)上都有定义。若

\[F^{'}(x)=f(x),x\in I \]

则称\(F\)为\(f\)在区间\(I\)上的一个原函数。

现在我们就有两个问题了：

1.满足何种条件的函数有原函数？如果存在，是否唯一？

A:

首先，在某一区间连续的函数在区间存在原函数。这个定理我不会证明但是知道就可以了。
然后，设\(F\)是\(f\)在区间\(I\)上的一个原函数，则：
\(F+C\)也是\(f\)在\(I\)上的原函数，其中\(C\)为任意常量函数
证明：略。

2.若已知摸个函数的原函数存在，有怎样求得？

A:

这就要用后面的积分方法了。

2.不定积分

函数\(f\)在区间\(I\)上的全体原函数称为\(f\)在\(I\)上的不定积分记作：

\[\int{f(x)}dx \]

其中\(\int\)为积分号，\(f(x)\)为被积函数，\(f(x)dx\)为被积表达式，\(x\)为积分变量
为方便起见，我们写作：

\[\int{f(x)dx}=F(x)+C \]

这时又称C为积分常数，它可取任意实数值，于是又有：

\[[\int{f(x)dx}]^{'}=[F(x)+C]^{'}=f(x) \]

\[d\int{f(x)dx}=d[F(x)+C]=f(x)dx \]

可以看出微分与积分互为逆运算的实质了。