LOJ6539 做题记录

推式子题，Trick 有些巧妙。

先来解决 \((i,j)\)，显然进行莫反：

\[\begin{aligned} &\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n(a_i,a_j)(i,j)\\ &=\sum_{d=1}^nd\sum_{i=1}^{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor}\sum_{j=1}^{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor}(a_{id},a_{jd})[(i,j)=1]\\ &=\sum_{d=1}^nd\sum_{x=1}^{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor}\mu(x)\sum_{i=1}^{\lfloor\frac{n}{dx}\rfloor}\sum_{j=1}^{\lfloor\frac{n}{dx}\rfloor}(a_{idx},a_{jdx}) \end{aligned} \]

令 \(f(x)=\sum\limits_{i=1}^{\lfloor\frac{n}{x}\rfloor}\sum\limits_{j=1}^{\lfloor\frac{n}{x}\rfloor}(a_{ix},a_{jx})\)。我们让小于等于 \(n\) 的 \(x\) 的倍数集合为 \(\mathbb{S}_x\)。

于是有：

\[\begin{aligned} f(x)&=\sum\limits_{i\in\mathbb{S}_x}\sum\limits_{j\in\mathbb{S}_x} (a_i,a_j)\\ &=\sum_{d}\sum_{i\in\mathbb{S}_x}\sum_{j\in\mathbb{S}_x}[(a_i,a_j)=d] \end{aligned} \]

发现将 \([(a_i,a_j)=d]\) 转化为 \([(\dfrac{a_i}{d},\dfrac{a_j}{d})=1]\) 之后不好做，于是考虑一种新的转化：转化为 \([\dfrac{(a_i,a_j)}{d}=1]\)。

\[\begin{aligned} f(x)&=\sum\limits_{i\in\mathbb{S}_x}\sum\limits_{j\in\mathbb{S}_x} (a_i,a_j)\\ &=\sum_{d}d\sum_{i\in\mathbb{S}_x}\sum_{j\in\mathbb{S}_x}[(a_i,a_j)=d]\\ &=\sum_{d}d\sum_{i\in\mathbb{S}_x}\sum_{j\in\mathbb{S}_x}[\frac{(a_i,a_j)}{d}=1]\\ &=\sum_{d}d\sum_{i\in\mathbb{S}_x}\sum_{j\in\mathbb{S}_x}\sum_{q\mid\frac{(a_i,a_j)}{d}}\mu(q)\\ &=\sum_{d}d\sum_{d\mid T}\mu(\dfrac{T}{d})\sum_{i\in\mathbb{S}_x}\sum_{j\in\mathbb{S}_x}[T\mid(a_i,a_j)]\\ &=\sum_{d}d\sum_{d\mid T}\mu(\dfrac{T}{d})(\sum_{i\in\mathbb{S}_x}[T\mid a_i])^2\\ &=\sum_{T}(\color{blue}\sum_{d\mid T}d\cdot\mu(\dfrac{T}{d})\color{black})(\sum_{i\in\mathbb{S}_x}[T\mid a_i])^2\\ &=\sum_{T=1}^n\varphi(T)(\sum_{i\in\mathbb{S}_x}[T\mid a_i])^2 \end{aligned} \]

其中，我们令 \(T=dq\)。蓝色部分比较巧妙：发现 \(\mu * \text{id}=\varphi\)，于是直接替换成 \(\varphi\)。

于是：

\[\begin{aligned} &\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n(a_i,a_j)(i,j)\\ &=\sum_{d=1}^n\sum_{i=1}^{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor}\sum_{j=1}^{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor}(a_{id},a_{jd})[(i,j)=1]\\ &=\sum_{d=1}^n\sum_{x=1}^{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor}\mu(x)\sum_{i=1}^{\lfloor\frac{n}{dx}\rfloor}\sum_{j=1}^{\lfloor\frac{n}{dx}\rfloor}(a_{idx},a_{jdx})\\ &=\sum_{d=1}^n\sum_{x=1}^{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor}\mu(x)f(dx) \end{aligned} \]

做完。