欧拉回路简要笔记

欧拉回路简要笔记

补一补一直不熟悉的一个知识点

概念与判定

定义

• 欧拉路径：一个路径被称为欧拉路径，当且仅当这条路径经过每条边恰好一次且经过了所有的点（点可以多次经过）
• 欧拉回路：起点与终点重合的欧拉路径是欧拉回路
• 欧拉图：有欧拉回路的图是欧拉图
• 半欧拉图：只有欧拉路径而没有欧拉回路的图是半欧拉图
• 奇点：无向图中度数为奇数的店
• 偶点：无向图中度数为偶数的点
• 基图：有向图去掉边的方向形成的无向图

判定

无向图

• 无向图存在欧拉回路（为欧拉图），当且仅当其连通，且奇点个数为 \(0\)。
• 无向图存在欧拉路径且不存在欧拉回路（为半欧拉图），当且仅当其连通，且其存在两个奇点且其它点均为偶点。这两个奇点为这条欧拉路径的起点和终点。

有向图

• 有向图存在欧拉回路，当且仅当当且仅当其基图连通，且所有的点的入度与出度相同。
• 有向图存在欧拉路径且不存在欧拉回路，当且仅当其当且仅当其基图连通，且存在一个点出度比入度大 \(1\)（起点），一个点入度比出度大 \(1\)（终点），且其它点出度与入度相同。

求欧拉回路 / 欧拉路径

该代码既能求欧拉回路，也能求欧拉路径。

void euler(int u,int id)
{
    for(int &i=h[u];i;i=nxt[i])
    {
        if(use[i]) continue;
        use[i]=use[i^1]=1;
        euler(to[i],num[i]);
    }
    //id是一条边
}