差分约束简要笔记

概述

用来算形如：

\[\begin{cases} x_i \le x_j+c\\ x_i \ge x_j+c \end{cases} \]

类似的不等式组。

做法

• 对于 \(x_i \le x_j + c\)，由 \(j\) 向 \(i\) 连出一条 \(c\) 的边。
• 对于 \(x_i \ge x_j+c\)，变化为 \(x_j \le x_i-c\)。由 \(i\) 向 \(j\) 连出一条 \(-c\) 的边。
• 建立一个超级原点 \(s\)，由 \(s\) 向每个点连出一条 \(0\) 的边。

做完之后固定原点值为 \(0\) 跑 SPFA 最短路即可。跑出来的 \(dis\) 为该点与原点差的最大值。

如果想要最小，所有边权取相反数然后跑 SPFA 最短路即可（其实就是最长路）。跑出来的 \(dis\) 为该点与原点差的最小值。

如果想要全局和最小，我们考虑对于 \(x_i \ge x_j+c\)，由 \(j\) 向 \(i\) 连出一条 \(c\) 的边；建立一个超级原点 \(s\)，由 \(s\) 向每个点连出一条 \(0\) 的边。固定原点值为 \(0\) 跑最长路。\(dis\) 之和为答案。

优化

如果边权全部为正，考虑缩点。

发现但凡一个 SCC 里面存在一条边为正，那么 SCC 必然存在正环，直接没掉。

如果没有，那么整个 SCC 值相等，于是顺序跑拓扑 + DP，时间复杂度 \(O(km) / O((n + m) \log n) \to O(n + m)\)。