CF1712E2 做题记录

CF1712E2 做题记录

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感性理解发现满足的很多，不满足的很少，考虑不满足即 \(\text{lcm}(i,j,k)<i+j+k\) 的情况。

令 \(\text{lcm}(i,j,k)=x\)，\(i=\dfrac{x}{a}\)，\(j = \dfrac{x}{b}\)，\(k=\dfrac{x}{c}\)，则 \(a>b>c\)。

\[\begin{aligned} &x < \dfrac{x}{a} + \dfrac{x}{b} + \dfrac{x}{c} \\ &\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} > 1 \\ &\dfrac{3}{c} > \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} > 1 \\ &\Rightarrow c < 3 \\ &\Rightarrow c = 1,2 \end{aligned} \]

若 \(c = 1\)，有：

\[\begin{aligned} &\because c = 1 \\ &\therefore \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b} > 0 \end{aligned} \]

原式恒成立！

若 \(c = 2\)，有：

\[\begin{aligned} &\because c = 2 \\ &\therefore \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b} > \dfrac{1}{2} \\ &\because \dfrac{2}{b} > \dfrac{1}{2} \\ &\therefore 2 < b < 4, b = 3 \\ &\because \dfrac{1}{a} > \dfrac{1}{6} \\ &\therefore 3 < a < 6, a = 4,5 \end{aligned} \]

带回知 \(i:j:k=3:4:6, 6:10:15\)，显然在 \([l,r]\) 中这样的 \((i,j,k)\) 共有 \(\max(0, \lfloor\dfrac{r}{6}\rfloor - \lceil\dfrac{l}{3}\rceil + 1) + \max(0, \lfloor\dfrac{r}{15}\rfloor - \lceil\dfrac{l}{6}\rceil + 1)\) 个。

回去考虑 \(c = 1\) 的情况，即 \(\text{lcm}(i,j,k)=k\)。

由于 \(i \mid k\)。令 \(fac_{k,u}\) 为 \(k\) 的因数，\(1 \le u \le siz_{k}\)。\(fac_{k,u} < j < k\)，则 \(j\) 共 \(siz_{k}-u-1\) 个。

于是这本质上是个带权二维数点，点是 \((fac_{k,u},k,siz_{k}-u-1)\)，直接做即可。