CF1626F 做题记录

CF1626F 做题记录

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期望是假的。本质上是让你求出所有可能选择方案的 \(ans\) 之和。

尝试找出不变量。令 \(P=\text{lcm}(1,2,3,\ldots,k)\)，\(a_i=P\lfloor\dfrac{a_i}{P}\rfloor+(a_i \bmod P)\)。

显然你无论如何操作都不影响前面的那一部分，对于前一部分尝试统计。

我们把贡献平摊到每个数上。

\[\dfrac{\sum\limits_{i=1}^n P\lfloor\dfrac{a_i}{P}\rfloor}{n} \]

接着由于会加 \(k\) 次，所以：

\[k\dfrac{\sum\limits_{i=1}^n P\lfloor\dfrac{a_i}{P}\rfloor}{n} \]

每种情况都会加上上面的，于是：

\[kn^{k-1}\sum\limits_{i=1}^n P\lfloor\dfrac{a_i}{P}\rfloor \]

接着考虑后面那部分。

考虑 DP。定义 \(f_{i,j}\) 表示第 \(i\) 次操作后，后面那部分 \(=j\) 的数有多少个。

第 \(i + 1\) 次操作有 \(n-1\) 种方法不选到 \(j\)。\(f_{i+1,j} \gets (n-1)f_{i,j}\)。

第 \(i+1\) 次操作有 \(1\) 种方法选到 \(j\)。\(f_{i+1,j - (j \bmod (i + 1))} \gets f_{i,j}\)。

最终答案为：\(\sum f_{i,j} \times j\times n^{k-i}\)，因为你后面随便选。

由于你不需要关心第 \(k\) 次操作的结果，因此 \(P=\text{lcm}(1,2,3,\ldots,k-1)\) 也是没问题的。