P11363 做题记录

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一句话题意：没法一句话，见题面

从简单情况入手考虑这道题。记点 \(i\) 的度为 \(\text{deg}_i\)​。

定义 I 一个点拥有大于等于三个相邻边为分叉结构，拥有小于等于两个相邻边为链结构，把分叉结构和链结构统称为分结构。

当 \(k = 1\) 时，你会发现只需要对同一点的边全排列即可。注意到如果你通过边 \(u\) 走到该点，\(u\) 是不能动的，于是这一点的方案数就为 \((\text{deg}_i -1)!\)。将所有点的方案数相乘即可。同时还可以发现这些相邻边在生成树上构成了一条链。

命题 I 一个点出发生成的树的个数是 \(\prod (\text{deg}_i-1)!\)。

命题 I-a 与同一点相接的边在生成树上构成了一条链。

考虑 \(k=2\) 的情况。这个时候我们要考虑去重。考虑每个分结构的情况，发现如果两个起始边生成了同一棵树，那么遍历顺序中的每个点的分结构，它生成的链开头和结尾固定。只有从指定的边走过来，它才能构成同一棵树。此时，这个点的方案数就变成了 \((\text{deg}_i -2)!\)。

命题 II 若两条起始边生成同一棵树，那么它们遍历顺序中的每个点分结构生成的链，开头和结尾固定。遍历顺序中的点的方案数为 \((\text{deg}_i -2)!\)。

考虑 \(k \ge 3\) 的情况。如果大于等于三条起始边生成同一棵树，那么它们遍历顺序的每个点都只能是链结构，不能是分叉结构。当为分叉结构时我们钦定了大于等于三个开头和结尾，这是不切实的。

命题 II-a 若大于等于三条起始边生成同一棵树，它们的遍历顺序的每个点都只能是链结构，即这大于等于三条边在原树中在同一条链上。

总结一下两种情况。我们发现，若大于等于两条边生成同一棵树，那么这些边都在同一条、唯一一条链上（两条边显然在同一条链上）。而且，链上的每个点的方案为 \((\text{deg}_i-2)!\)（根据命题 II）。

命题 II-b 若大于等于两条边生成同一棵树，那么这些边都在同一条、唯一一条链上。在链上的每个点方案为 \((\text{deg}_i-2)!\)，其余为 \((\text{deg}_i-1)!\)​。

定义 II 定义一个边集的生成链为所在的同一条、唯一一条链（如果存在）。

定义 III 定义 \(F_S=\bigcap \limits _{t\in S} A_t\)。

考虑容斥。根据容斥原理，答案为：

\[\sum\limits_{S\subseteq \{1,2,3,\ldots,n-1\}} (-1)^{\left|S\right|-1}F_S \]

接下来我们就可以分析一下 \(F_{S}\)。由于 \((\text{deg}_i-2)!=\dfrac{(\text{deg}_i-1)!}{\text{deg}_i-1}\)。那么 \(F_S\) 就可以表示为：

\[F_S=\prod (\text{deg}_i-1)! \cdot \prod_{x \in S 的生成链点集} \dfrac{1}{\text{deg}_x-1} \]

结合 \(F_S\) 的式子和答案式子，可以定义：

定义 IV 定义 \(G_S\) 为：

\[G_S = (-1)^{\left|S\right|-1}\prod_{x \in S 的生成链点集} \dfrac{1}{\text{deg}_x-1} \]

定义 V 定义答案为：

\[\prod (\text{deg}_i-1)!\cdot\sum\limits_{S\subseteq \{1,2,3,\ldots,n-1\}} G_s \]

发现边集的性质较少，情况数多。而生成链的情况数少，性质也多。于是我们考虑依照生成链进行统计。

由于两条边才能构成一条生成链，因此我们修改一下定义 V 的式子为：

\[m\prod (\text{deg}_i-1)!-\prod (\text{deg}_i-1)!\sum\limits_{S\subseteq \{1,2,3,\ldots,n-1\},\left|S\right|\ge2} G_S \]

根据修改后的答案式子，我们定义：

定义 VI 定义一个生成链的权值为：

\[(-1)^t\prod_{x\in V}\dfrac{1}{\text{deg}_x-1} \]

其中 \(t\) 代表生成链为这个生成链的边集的大小之和。

定义 VII 定义 \(f_i\) 表示以 \(i\) 或 \(i\) 的父亲为深度最小点，以 \(i\)​ 为根的子树内的点为深度最深的点的链的的生成链，的权值之和。

根据定义 VII 可以写出下列表达式：

\[f_u=\begin{cases}(-1)\sum\limits_{v\in S_u}f_v+\sum\limits_{v\in S_u}f_v+(-1)=-1&(u,fa_u)是起始边\\\\\dfrac{1}{\text{deg}_u}\sum\limits_{v\in S_u}f_v&否则\end{cases} \]

最后，在统计答案时，将所有链拼起来即可。

注意统计不拼起来的情况，即单条链的情况，可以发现，当 \((u,fa_u)\) 为起始边时，接上 \(v\) 的单条链只需要乘上 \(-1\) 即可。

未尽事宜请详询代码。

On 2025.1.22