【题解】AT_abc292_c 题解

AT_abc292_c 题解

思路分析

一道挺不错的思维题。

首先，题目要求求出满足 $A \times B+ C \times D = N$ 的四元组 $(A,B,C,D)$，且顺序不同，数相同的不算同一种。于是，我们可以先枚举 $A \times B$ 与 $C \times D$ 的值，随后我们就可以通过分解因数对的方式枚举出 $(A,B)$ 与 $(C,D)$ 各有多少组（计顺序）。最后根据乘法原理，将两者统计出来的结果相乘即可。

那么其次，如何通过分解因数对的方式枚举出 $(A,B)$ 与 $(C,D)$ 各有多少组（计顺序）呢？我们以 $(A,B)$ 为例。可以发现，由于两者乘积固定且已知，如果设其为 $k$。则 $(A,B)$ 可以表示为 $(A,\dfrac{k}{A})$，也就是确定了 $A$ 就确定了整个组 $(A,B)$ 。由于又有 $A \mid k$，即 $A$ 为 $k$ 的因数，因数与整个组 $(A,B)$ 一一对应。也就是说，乘积有多少个因数个数，就有有多少组（计顺序）。

然后就是实现了。题解区中的大佬们都是用 $O(N \sqrt{N})$ 的算法直接在程序中来预处理因数个数的。事实上，这样子并不稳健，因为如果不加任何优化的话，$2 \times 10^5$ 的范围中很可能会被卡常。所以我认为最好直接打表处理出来范围中所有数的因数个数，这样子就可以实现在 $O(N)$ 的复杂度内计算出正确结果。

代码

打表代码：

for(int i = 1;i <= 200000;i++) //遍历每个数
{
	int cnt = 0; //因数个数计数器
	for(int j = 1;j * j <= i;j++) //遍历每个因数
	{
		if(i % j == 0) //如果能被整除
		{
			cnt += 2; //加入两个因数
		}
		if(j * j == i) //如果是平方数
		{
			cnt--; //要进行去重
		}
	}
	cout << cnt << ",";
}

计算结果部分关键代码：

long long kkk = 0; //总结果计数器
for(int i = 1;i <= n;i++) //枚举AB乘积
{
	int j = n - i; //由 AB+CD=N，CD=N-AB 得来。
	kkk += (ys[i] * ys[j]); //根据乘法原理计算结果
}
cout << kkk << endl;