【题解】CF1575L 题解

CF1575L 题解

思路分析

一道挺不错的思维题。

首先，我们定义 $d_i$ 为要操作的次数，即 $i-a_i$（前提是 $i \ge a_i$，否则我们定义 $d_i$ 不存在，即 $d_i$ 必须大于等于零）。那么，当 $a_i$ 与 $a_j$（$i < j$）能通过操作多次使得 $i=a_i$ 且 $j=a_j$ 时，必然满足以下条件（充分必要条件）：

$$\begin{cases}a_i < a_j\\d_i \leq d_j\end{cases}$$

这里我来证明一下这个结论。

证明：设当 $d_i > d_j$ 时，亦能满足 $a_i$ 与 $a_j$（$i < j$）能通过操作多次使得 $i=a_i$ 且 $j=a_j$。

即

$$\begin{cases}i<j\\a_i < a_j \\d_i > d_j \\\end{cases}$$

设有

$$\begin{cases}i+ x = j\\a_i + y = a_j \\\end{cases}$$

（$x,\;y > 0$）

由 $d_i$ 定义，$d_i+d_j \geq 0$，$d_i=i-a_i$，$d_j=j-a_j$。

$$\begin{aligned}d_i+d_j & = i-a_i+j-a_j \\ & = i-a_i + i+x-(a_i+y) \\ & = 2i - 2a_i+x-y\end{aligned}$$

由于 $d_i = i-a_i \geq 0$，所以 $x - y \geq 0$，$x \geq y$。

又 $d_i > d_j$，$d_i-d_j > 0$。

$$\begin{aligned}d_i-d_j & = i-a_i-(j-a_j) \\ & = i-a_i -[i+x-(a_i+y)] \\ & = y - x \\\end{aligned}$$

即 $y-x>0$，有 $y>x$，即 $x < y$，矛盾。

所以，当且仅当 $d_i \leq d_j$ 时，满足 $a_i$ 与 $a_j$（$i < j$）能通过操作多次使得 $i=a_i$ 且 $j=a_j$。

接着，我们要尽可能多地去满足这两个条件。我们可以先确保满足一条件，再尽可能多地去满足第二个条件。于是，我们可以以 $d_i$ 为第一关键字排序，这样可以先确保满足一条件。接着再求排序后 $a_i$ 的最长上升子序列，这样就可以尽可能多地去满足第二个条件了。

注意到 $d_i \geq 0$，所以要排除 $i < a_i$ 的情况。另外，$n$ 的范围较大，所以要使用快速求最长上升子序列的方法，我这里选用了使用树状数组求最长上升子序列的方法，详细可参考这篇博文。

关键代码

int c[N], n, cnt; //树状数组，n，排除 i < a_i 后数的个数
struct node //(i-a_i,i) 二元组
{
	int i_ai, ai;	
}; 
node a[N];

int query(int x) //树状数组查询前 x 项的最值
{
	int sum = 0;
	while(x > 0)
	{
		sum = max(sum, c[x]);
		x -= lowbit(x);
	}
	return sum;
}

void update(int x, int p) //树状数组更新
{
	while(x <= n)
	{
		c[x] = max(c[x], p);
		x += lowbit(x);
	}
}

bool cmp(node x, node y) //以 i-a_i 为第一关键字排序的比较函数
{
	if(x.i_ai != y.i_ai) return x.i_ai < y.i_ai;
	return x.ai < y.ai;
}

signed main()
{
	cin >> n;
	for(int i = 1;i <= n;i++)
	{
		int t;
		cin >> t;
		if(i >= t) //满足要求
		{
			a[++cnt] = (node){i - t, t}; //插入序列
		}
	}
	int maxv = 0; //最长上升子序列的最长比较变量
	sort(a + 1, a + cnt + 1, cmp); //以 i-a_i 为第一关键字排序
	for(int i = 1;i <= cnt;i++)
	{
        // 使用树状数组求出最长上升子序列
		int y = query(a[i].ai - 1); 
		update(a[i].ai, y + 1);
		maxv = max(maxv, y + 1); //进行比较
	}
	cout << maxv << endl;
	return 0;
}