【题解】P8705 题解

P8705 题解

思路分析

T1 跑步训练

一道数学题。

类似于蜗牛爬井的问题，不过这次是向下爬，且周期为两天。

我们可以参考蜗牛爬井的思路，用总长度（即初始体力）除以一个周期向下爬的长度（即$600-300=300$）得到变化周期数，即 $10000 \div 300 = 33 \ldots \ldots 100$。

但是需要注意，最后一个周期需要单独分析，避免出现“本来爬到了顶端，但是又滑下去了”的情况。在前 $32$ 个周期中，共爬了 $32 \times (600-300) = 9600$，总共为 $10000$，则下一次就要爬 $10000-9600=400$，也就是 $\dfrac{400}{600} = \dfrac{2}{3}$ 分钟。因此总共要爬 $32 \times 2 + \dfrac{2}{3} = 64 \dfrac{2}{3} = \dfrac{194}{3}$，即 $\dfrac{194}{3} \times 60 = 3880$ 秒。

T2 纪念日

这题要求我们计算【屏蔽词】成立的中午十二时到 $99$ 周年庆十二时的一共包含多少分钟，由于都是十二时，所以其实就是要我们求出 【屏蔽词】的成立到九十九周年庆的日期总数。我们可以一年一年地去看一下。

【屏蔽词】成立于 $1921$ 年 $7$ 月 $23$ 日，我们就可以一步一步倒推，计算 $1921$ 年 $7$ 月 $23$ 日到 $1922$ 年 $7$ 月 $23$ 日的总天数，得到 $365$ 天，之后依此倒推至 $2020$ 年 $7$ 月 $23$ 日，共 $36160$ 天。但是【屏蔽词】的十二周年庆在一日。所以还要把天数减掉 $22$ 天，得 $36138$ 天。最后将其换算成分钟，也就是 $36138 \times 24 \times 60 = 52038720$。

T3 合并检测

预设民众数量为 $10000$，然后由题意，得 $k$ 值对应的试剂盒数为 $\dfrac{10000}{k} + {10000 \div 100} \times k = \dfrac{10000}{k} + {100} \times k$。

数值太大不想算，于是令 $t = k \div 10$，代回原式为 $\dfrac{1000}{t} + 100 \times 10 \times t = 1000\times(t + \dfrac{1}{t})$。

即求 $t + \dfrac{1}{t}$ 得最小值，继续推。

$$t + \dfrac{1}{t} = (\sqrt{t})^2 + (\sqrt{\dfrac{1}{t}})^2 + 2 \times \sqrt{t\; \cdot \; \dfrac{1}{t}} - 2 \times \sqrt{t\; \cdot \; \dfrac{1}{t}} = (\sqrt{t} - \sqrt{\dfrac{1}{t}})^2 + 2$$

显然 $(\sqrt{t} - \sqrt{\dfrac{1}{t}})^2 \ge 0$，所以当 $\sqrt{t} = \sqrt{\dfrac{1}{t}}$，$t$ 取 $1$ 时，$t + \dfrac{1}{t}$ 最小。

代回原式得 $k = 10t = 10$。

T4 REPEAT

这题其实不用那么麻烦。

发现此题的代码格式跟 Python 语言类似。再打开讨论区中的文件一看，好家伙，这不就是 Python 稍微改改吗。

于是就可以进行替换，把 REPEAT （注意空格）替换成 for i in range(，把 : 替换成 ):，使其符合 Python 语言格式。最后在替换后的程序末尾加一句

print(A)

就可以了，运行输出即可。结果为 $241830$。

替换后的放在剪贴板里了，请自取。

T5 矩阵

DP 题。

假设我们按顺序填，即第一步填的数小于第二步，第二步小于第三步，以此类推。

记 $f(i,j)$ 表示第一行填 $i$ 个，第二行填 $j$ 个时满足题意的填法个数。由题意， $1 \leq i, j \leq 1010$，答案为 $f(1010,1010)$。

然后我们分析 $f(i,j)$。

首先，如果前一步填的是第一行，那么方案数为 $f(i-1,j)$。但需要注意，$i \geq 1$。同时，如果 $i \leq j$，那么再往下填第一行时，填的数必然比下面的数大，矛盾。所以需要保证 $i > j$。显然，$j \geq 0$，所以此时 $i > 0$，$i \geq 1$。所以，保证 $i > j$ 即可，保证了 $i$ 必然满足 $i \geq 1$。

如果前一步填的是第二行，那么方案数为 $f(i,j-1)$。同样需要保证 $j \geq 1$。

于是可以分析出如下递推式：

$$f(i,j)=\begin{cases}1&i=j=0\\f(i-1,j)&i > j,j= 0\\f(i,j-1)&i \leq j,j \geq 1\\f(i-1,j)+f(i,j-1)&i > j \geq 1\end{cases}$$

然后就可以写出代码计算，注意取模。算得最终答案为 $1340$。

五题答案都出来了，就可以直接填入模板提交了。但是貌似这题评分的答案搞错了

代码

#include<iostream>
using namespace std;
int main() {
    string ans [] = {
        "3880", // 双引号中替换为 A 题的答案
        "52038720", // 双引号中替换为 B 题的答案
        "10", // 双引号中替换为 C 题的答案
        "241830", // 双引号中替换为 D 题的答案
        "1340", // 双引号中替换为 E 题的答案
    };
    char T;
    cin >> T;
    cout << ans[T - 'A'] << endl;
    return 0;
}