【题解】AT_abc313_c 题解

AT_abc313_c 题解

思路分析

简单推柿子的题。

我们要如何使得这个数列的最大值与最小值的差为 $1$ 呢？显然是要尽可能的去让数列中的数平均分布。

显然，当两个数一个加 $1$，一个减 $1$ 时，两数和不变。又因为每次都是这样的操作，因此操作完毕后数列总和不变。

设数列总和为 $S$，数列中有 $n$ 个数。则尽可能平均时，情况如下：

• 后 $S \bmod n$ 个数为 $\left\lceil\\\dfrac{S}{n}\right\rceil$。
• 余下的前面的数为 $\left\lfloor\\\dfrac{S}{n}\right\rfloor$。

然后，我们求出操作次数。

设两数原为 $a_i$ 与 $b_i$，要变为 $p_i$ 与 $q_i$（$b_i \le a_i$ 且 $p_i \ge q_i$）。由题意，$a_i+b_i = p_i + q_i$，即 $p_i - a_i = b_ i - q_i$。

设 $p_i - a_i = b_ i - q_i = k$。

由于两者要变化的量 $k$ 相同，因此，只需操作 $k$ 次即可。如何计算 $k$ 呢？由 $k$ 的定义，$2k=p_i-a_i+b_i-q_i$，即 $k = \dfrac{b_i-a_i+p_i-q_i}{2}$，$k = \dfrac{\left|a_i-b_i\right|+\left|p_i-q_i\right|}{2}$。

还有，由于我们要满足条件 $b_i \le a_i$，因此要对数列排序。而 $p_i \ge q_i$ 是天然满足的，因此不用排序。

最后，由于该情况是最平均的情况，所以操作至此情况所需的步骤也最小。因此按照上述步骤实现即可。

代码

#include <iostream>
#include <iomanip>
#include <cmath>
#include <string>
#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#define int long long
#define IL inline
using namespace std;
const int N = 2e5 + 10;
const int INF = 0x3f3f3f3f;

IL int read()
{
    int x = 0,f = 1;
    char c = getchar();
    while(c <'0'|| c >'9'){if(c == '-') f = -1;c = getchar();}
    while(c >= '0' && c <= '9') x = x * 10 + c - '0',c = getchar();
    return x * f;
}

void write(int x)
{
    if(x < 0) putchar('-'),x = -x;
    if(x > 9) write(x / 10);
    putchar(x % 10 + '0');
}

int a[N], b[N];

signed main()
{
	int n;
	cin >> n;
	int s = 0; //和 
	for(int i = 1;i <= n;i++)
	{
		cin >> a[i];
		s += a[i];
	}	
	sort(a + 1, a + n + 1); 
	for(int i = 1;i <= n - s % n;i++) //余下的前面的数为 floor(s/n) 
	{
		b[i] = s / n; 
	}
	for(int i = 1;i <= s % n;i++) //后 s % n 个数为 ceil(s/n)（即floor(s / n) + 1） 
	{
		b[n - i + 1] = s / n + 1;
	}
	//依照公式计算操作次数 
	int ans = 0;
	for(int i = 1;i <= n;i++)
	{
		ans += abs(b[i] - a[i]);
	}
	cout << ans / 2 << endl;
    return 0;
}