【题解】P8683 题解

P8683 题解

思路分析

由 $N$ 个加号、 $M$ 个减号以及 $N+M+1$ 个整数凑出的合法后缀表达式。

贪心题。

看到“由 $N$ 个加号、 $M$ 个减号以及 $N+M+1$ 个整数凑出”这一条件时，我们可以知道，题目要求我们用加减组成结果最大的式子。

看到“后缀表达式”这一条件，我们可以知道，凑出的式子还可以加括号，例如 1 2 + 3 4 - + 等于 (1+2)+(3-4)。

显然，结果可以表示为 $A-B$（$A$，$B$ 为整数），如果我们要让结果最大，那么我们就得使得 $B$ 最小，于是可以取最小的数为 $B$ 即可。

（注：为什么不用管最小的数的正负？如果最小数为负，那么很好，不减反加。如果是正的，那么刚好符合我们的要求。如果是零，啥事没有。）

接下来，我们就要让 $A$ 最大。设原式为 $(A)-(B)$。

此时剩下 $N + M$ 个数。由于我们可以随意地添加括号，因此我们可以通过如下方法，使得 $A$ 为余下的所有数的绝对值之和。

• 如果数为正数，则既可以添正号，放到 $(A)$ 中，也可以添负号，放到 $(B)$ 中。
• 如果数为负数，则既可以添负号，放到 $(A)$ 中，也可以添正号，放到 $(B)$ 中。
• 如果数为零，依照正数负数操作均可

接下来，我们证明：通过 $N$ 个加号与 $M-1$ 个减号，通过上述方式，一定可以让所有数变为其绝对值。

不妨设有 $a$ 个正数与 $b$ 个零。则负数个数 $c = N+M-a-b$。

• 对负数操作，至少要 $\dfrac{N+M-a-b}{2}$ 个正号，$\dfrac{N+M-a-b}{2}$ 个负号。

• 对正数操作，至少要 $\dfrac{a}{2}$ 个正号，$\dfrac{a}{2}$ 个负号。

• 对零操作，至少要 $\dfrac{b}{2}$ 个正号，$\dfrac{b}{2}$ 个负号。

• 共 $\dfrac{N+M}{2}\pm1$ 个正号（有一个非负数可以不用正号），$\dfrac{N+M}{2}$ 个负号。

按照这种方式操作即可使得所有数变为其绝对值，而不用担心会不会加减号不够用。

于是最后直接排序操作即可。注意特判 $M = 0$ 的情况，这种情况不用找最小的数去减，直接全部相加。

代码

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <numeric> 
#define int long long
using namespace std;
const int N = 2e5 + 10;

int a[N];

signed main()
{
	int n, m;
	cin >> n >> m;
	for(int i = 1;i <= n + m + 1;i++)
	{
		cin >> a[i];
	}
	if(m == 0)
	{
		cout << accumulate(a + 1, a + n + m + 1 + 1, 0) << endl; //求和 
	}
	else
	{
		sort(a + 1, a + n + m + 1 + 1); //排序
		int ans = a[n + m + 1] - a[1]; //最大-最小
		for(int i = 2;i <= n + m;i++)
		{
			ans += abs(a[i]); //绝对值之和
		}
		cout << ans << endl;
	}
    return 0;
}