【题解】Not coprime 题解

$\mathtt{Pre\ Explanation}$

本人第一次使用新风格写题解，希望大家多多包涵~

$\mathtt{Solution}$

我们先来证明一个结论：

• 答案必然是 $p_1 \times p_2 \times p_3 \times \cdots p_n$，其中 $p$ 为 $1$ 到 $50$ 内全体质数集合的一个子集。

下面我们分步来论述一下：

• 首先，由于答案是满足每个数都至少有一个质因子是其质因数，我们暂时忽略“质数”这一条件，也就是每个数都有一个因子是其因数，这个很显然，就是最大公因数大于 $1$。而再加上“质数”这个条件，也就是有一个质数公因数。

• 而又由于我们希望这个数尽量的小，因此需要包含尽可能少的因数。而如果答案不是质数的乘积，那必然有一个质数重复乘了几次（即在答案分解质因数后有一个质因数的指数不为 $1$）。

• 不妨设这个数为 $r$，如果之前 $r$ 本身就不是给定的数中某个数的质因数，那么乘上之后答案如果满足题意还是满足题意，不满足还是不满足，多此一举。而如果是，那在乘上之前答案本身在这个数上就已经达成了目标（有一个质数公因数），再乘上也是多此一举，综上，答案必为质数的乘积。

• 其次由于 $X_{i} \le 50$，而一个数的因数不能超过这个数本身，如果答案中的 $p_i$ 超过 $50$，那么它必然不是任何一个 $X_i$ 的因数，相当于这个 $p_i$ 就没用，因此 $p_i \le 50$。

由于 $1$ 到 $50$ 内全体质数集合的元素个数较小，因此我们可以发挥我们的数学常识将其所有元素默写出来，然后使用二进制枚举状态的方法，枚举每个质数的选和不选，那么把所有选的质数乘起来就是 $p_1 \times p_2 \times p_3 \times \cdots p_n$，接着判断一下是否跟所有的 $X$ 都有一个共同的质因数（由于答案为质数相乘，那么相当于判断最大公因数是否大于 $1$）就可以了。

时间复杂度 $O(N2^M)$，其中 $M$ 为 $1$ 到 $50$ 内全体质数集合的元素个数。

$\mathtt{Critical\ Code}$

for(int S = 1;S < (1 << 15);S++) //状态
{
    int u = 1;
    for(int i = 1;i <= 15;i++)
    {
        if(S & (1 << (i - 1))) u *= p[i]; //计算答案
    }
    int cnt = 0;
    for(int i = 1;i <= n;i++)
    {
        if(__gcd(a[i], u) > 1) cnt++; //判断有无共同的质因数
    }
    if(cnt == n) ans = min(ans, u); //更新最小值
}