题目归档 #8

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• Luogu4318 完全平方数
• [USACO08MAR]Land Acquisition G
• Luogu P4859 已经没有什么好害怕的了

Luogu4318 完全平方数

首先肯定二分。接下来问题变成求 \(1 \sim n\) 中有多少个数是完全平方数的倍数，考虑容斥。

在这道题中，我们先把 \(2\) 的平方的倍数和 \(3\) 的平方的倍数给标记，接下来发现 \(6\) 的平方的倍数被标记了两次。所以它们的容斥系数分别为 \(1,1,-1\)。

不难发现，一个数若含偶数个互不相同素因子，其容斥系数为 \(-1\)，若含奇数个互不相同素因子，其容斥系数为 \(1\)。一个数质因数分解后出现二次及以上的项则容斥系数为 \(0\)。可以结合容斥原理进行理解。

• 容斥原理：

\[\left|\bigcup_{i=1}^{n}\right|=\sum\limits_{i=1}^{n}\left|A_{i}\right|-\sum\limits_{i, j, 1\leq i<j \leq n}\left|A_{i} \cap A_{j}\right|+\sum\limits_{i, j, k, 1 \leq i<j<k \leq n}\left|A_{i} \cap A_{j} \cap A_{k}\right|-\cdots+(-1)^{n-1}\left|A_{1} \cap A_{2} \cap \cdots \cap A_{n}\right| \]

​ 注意到其中奇数个元素的容斥系数为 \(1\)，偶数个元素的容斥系数为 \(-1\)。

不难发现，一个数的容斥系数即莫比乌斯函数。预处理 \(\mu\) 即可，答案即为 \(\sum\limits_{i=2}^\sqrt{n} \mu(i) \left\lfloor\frac{n}{i^2}\right\rfloor\)。

[USACO08MAR]Land Acquisition G

首先，如果对于一块 \(w \times h\) 的土地，存在一块土地 \(w' \times h'\) 满足 \(w \leq w'\) 且 \(h \leq h'\)，这块土地肯定可以白嫖。

于是先把所有者样的土地扔掉（可以用栈来做），然后按 \(w\) 递增，\(h\) 递减排一遍序。

之后就是 dp，方程显然：\(f_i=\max\{f_{j-1}+w_i \times h_j\}\)。

然后上斜率优化就行了。最终复杂度 \(O(n \log n)\)。

Luogu P4859 已经没有什么好害怕的了

先用一年级数学知识计算出需要选出 \(x\) 组 \(a>b\)。

把 \(a_i\) 和 \(b_i\) 都按照升序排一遍。令 \(cnt_i\) 表示有多少个 \(b_j\) 小于 \(a_i\)。

\(dp_{i,j}\) 表示对于前 \(i\) 个 \(a_i\)，选出 \(j\) 个数并给它们各自安排一个 \(b_j\) 使得 \(b_j < a_i\) 的方案数。有

\[dp_{i,j}=dp_{i-1,j-1}\times (cnt_i-j+1) + dp_{i-1,j} \]

\(g_i = dp_{n,i} \times (n-i)!\) 表示选出 \(\geq i\) 组 \(a > b\) 的方案总数，并且存在算重。具体地，令选出 \(x\) 组 \(a>b\) 的方案数为 \(f_x\)，则 \(f_x\) 在 \(g_i (x \geq i)\) 中被计算了 \(\dbinom{x}{i}\) 次。

于是有

\[\begin{array}{c} g(i)=\sum_{x=i}^{n}\left(\begin{array}{c} x \\ i \end{array}\right) f(x) \\ \end{array} \]

由二项式反演：

\[f(i)=\sum_{x=i}^{n}(-1)^{x-i}\left(\begin{array}{l} x \\ i \end{array}\right) g(x) \]

就解决了。