左偏树 学习笔记

• 前置知识：堆

定义

左偏树是 可并堆 的一种。除了支持堆的所有操作之外，左偏树还支持合并两个堆并把复杂度维持在 \(O(n \log n)\) 级别。

左偏树的实现

Dist

外节点： 对于一棵二叉树，我们定义外节点为左儿子或右儿子为空的节点。

dist： 我们定义某一个节点的 \(\text{dist}\) 为该点到最近的外节点的距离。外节点的 \(\text{dist}\) 为 \(1\)。

我们不难发现，一个有 \(n\) 个节点的堆，根的 \(\text{dist}\) 不超过 \(\left\lceil\log(n+1)\right\rceil\)。假设一个根的 \(\text{dist}\) 为 \(d\)，显然它至少有 \(2^d-1\) 个节点。取对数即得到上述结论。

左偏树为何左偏

之所以叫「左偏树」，因为在左偏树中，对于任何一个节点，左儿子的 \(\text{dist}\) 一定大于右儿子的 \(\text{dist}\)。

正因为如此，左偏树中任何一个节点的 \(\text{dist}\) 为右儿子的 \(\text{dist}\) 加 \(1\)。

左偏树的操作

• Merge

合并两个堆是一个递归的过程。我们令当前要合并的的两个堆堆顶分别为 \(x,y\) 且 \(val_x<val_y\)。合并过程如下：

1. 对于这两个堆，合并后的堆顶为 \(x\)。
2. 令新堆顶 \(x\) 的左子树为 \(x\) 的左子树（其实就是左子树不变）。
3. 递归合并 \(x\) 的右子树这个「子堆」和 \(y\)，作为新堆顶 \(x\) 的右子树。
4. 回溯时检查 \(x\) 左儿子和右儿子的 \(\text{dist}\)。若左儿子的 \(\text{dist}\) 小于右儿子的 \(\text{dist}\) 则交换两个儿子。

参考代码：

int merge(int x, int y) {
	if(!x || !y) return x | y;
	if(node[x].val > node[y].val || (node[x].val == node[y].val && x > y)) swap(x, y);
	node[x].rs = merge(node[x].rs, y);
	if(node[node[x].ls].dist < node[node[x].rs].dist) swap(node[x].ls, node[x].rs);
	node[x].dist = node[node[x].rs].dist + 1;
	return x;
}

• Pop

有了 Merge 的操作，我们 Pop 就不必那么麻烦了。如果我们想弹出一个点 \(x\)，只需要合并 \(x\) 的左右子树然后把 \(x\) 删掉。

• Insert

同理，我们插入节点时也可以直接把待插入节点 \(x\) 当成一个堆，直接执行 Merge 操作即可。

• Find

我们常常需要照到某个点 \(x\) 的堆顶 \(rt\)。如果直接向上跳单次复杂度可能退化到 \(O(n)\)。为了避免这种情况的发生，我们需要用并查集维护点在哪个堆里面。具体操作和并查集类似。

需要注意的是为了维护 father 关系，我们执行 Merge 时要把合并的两个堆顶节点 \(x,y\) 的父亲都设为 merge 函数的返回值（即新的堆顶）。考虑到路径压缩的存在，执行 Pop 操作时还要把被 Pop 的节点的父亲设为其两个儿子 merge 后的新堆顶。

总代码

Luogu 上的模板题，要求支持 Merge 和 Pop 的操作。

struct Node {
	int fa, val, dist;
	int ls, rs;
}
node[Maxn]; int n, m;

int find(int x) {
	if(x == node[x].fa) return x;
	else return node[x].fa = find(node[x].fa);
}

int merge(int x, int y) {
	if(!x || !y) return x | y;
	if(node[x].val > node[y].val || (node[x].val == node[y].val && x > y)) swap(x, y);
	node[x].rs = merge(node[x].rs, y);
	if(node[node[x].ls].dist < node[node[x].rs].dist) swap(node[x].ls, node[x].rs);
	node[x].dist = node[node[x].rs].dist + 1;
	return x;
}

void pop(int x) {
	node[x].val = -1;
	node[node[x].ls].fa = node[node[x].rs].fa = node[x].fa = merge(node[x].ls, node[x].rs);
}


int main() {
	n = read(); m = read();
	for(int i = 1; i <= n; ++i) {
		node[i].fa = i;
		node[i].val = read();
		node[i].dist = 1;
	}
	int op, x, y;
	for(int i = 1; i <= m; ++i) {
		op = read();
		if(op == 1) {
			x = read(); y = read();
			if(node[x].val == -1 || node[y].val == -1) continue;
			x = find(x); y = find(y);
 			if(x != y) node[x].fa = node[y].fa = merge(x, y);
		}
		if(op == 2) {
			x = read();
			if(node[x].val == -1) {printf("-1\n"); continue;}
			printf("%d\n", node[find(x)].val); pop(find(x));
		}
	}
	return 0;
}